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在[[数学]]中，特别是[[测度论]]中，外测度是一个定义在给定[[集合 (数学)|集合]]上的[[扩展的实数轴|扩展实数值]]的[[函数]]，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给[[测度|可测集]]和[[可列可加性|可数可加]]测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明[[Carathéodory扩张定理]]）。[[费利克斯·豪斯多夫|豪斯多夫]]也用此来定义一个类似[[维数]]的度量，现在称为[[豪斯多夫维数]]。

从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数<math>\varphi</math>,使其滿足以下4个条件：

# 任意实数区间 <math>[a,b]</math>有测度<math>b-a</math>；
# 測度函數 <math>\varphi</math>是非負扩展实数值函數，定义在<math>\mathbb{R}</math>的所有子集合上；
# 平移不变性：任给集合<math>A</math>和实数<math>x</math>，<math>A</math>与<math>A+x</math>  有相同的测度(这里，<math>A+x=\{a+x: a\in A\}</math>）；
# [[可列可加性|可数可加律]]：对<math>X</math>的任意的两两[[不交集|无交]]的子集序列<math>\{A_j\}</math>，有：
::<math> \varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(A_i)</math>。
事实上，这几条要求是不相容的。这样的測度函數 <math>\varphi</math>不能定义在<math>\mathbb{R}</math>的所有子集上，也就是说，[[不可测集]]是存在的。构造外测度的目的就是选出那些'''可测集合'''，使得'''可数可加性'''得到满足。

== 定義 ==

外測度是从 <math>X</math> 的[[冪集合]]映到 <math>[0, \infty] </math>的函數

:<math>\varphi: 2^X \rightarrow [0, \infty] </math>

且滿足以下條件：

*[[空集合]]的外測度為零：

:<math> \varphi(\varnothing) = 0</math>

* [[单调性]]：

:<math> A \subseteq B \Rightarrow \varphi(A) \leq \varphi(B)</math>

* [[次可加性]]: 对 ''X'' 的任意子集序列 <math>\{A_j\}</math>（不管兩兩交集是否空集合）

:<math> \varphi\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \varphi(A_j)</math>

接著可以借由外測度來定义  ''X'' 中的可測集合：子集合 <math>E\subseteq X</math> 是 <math>\varphi </math>-可测的，当且仅当对 <math>X</math> 的任意子集合 <math>A</math> 有：

:<math> \varphi(A) = \varphi(A \cap E) + \varphi(A \cap  E^c). </math>

所有的 <math>\varphi</math>-可测集合构成了一个[[Σ-代数|<math>\sigma</math>-代数]] ，且如果 <math>\varphi</math>限制在我們剛定義的可测集合上時，<math>\varphi</math> 會有可数可加的[[完备测度]]性質。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造[[勒贝格测度]]和[[积分]]理论的重要方法。

== 外測度与[[拓撲學]] ==

假設 <math>(X,d)</math>是一個[[度量空間]]且  <math>\varphi </math>是一個在 <math>X</math>之上的外測度。若 <math>\varphi </math>有以下性質 ：

只要 

:<math> d(E,F) = \inf\{d(x,y): x \in E, y \in F\} > 0, </math>

就有

:<math> \varphi(E \cup F) = \varphi(E) + \varphi(F)</math>

那么称<math>\varphi </math>是一个'''度量外测度'''。

如果<math>\varphi </math>是<math>X</math>上的度量外测度，那么<math>X</math>的每个[[波莱尔集|Borel子集]]都是<math>\varphi </math>-可测的。

== 外測度的构造 ==

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

令<math>X</math>为一集合，<math>C</math>是<math>X</math>的包含[[空集]]的[[集合族|子集族]]，<math>p</math>是<math>C</math>上的非负扩展实数值函数，且<math>p</math> 在空集处取零。

那么定义

:<math> \varphi(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C\biggr\}</math>

则<math> \varphi </math>是一个外测度。

另一种方法在[[度量空间]]上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 <math>(X,d)</math>是一个度量空间，<math>C</math>是<math>X</math>的包含空集的子集族，<math>p</math>是<math>C</math>上的非负扩展实数值函数，且<math>p</math>在空集处取零。那么，对任意<math> \delta >0 </math>，令

:<math>C_\delta= \{A \in C: \operatorname{diam}(A) \leq \delta\} </math>

及

:<math> \varphi_\delta(E) = \inf \biggl\{ \sum_{i=0}^\infty p(A_i)\,\bigg|\,E\subseteq\bigcup_{i=0}^\infty A_i,\forall i\in\mathbb N , A_i\in C_\delta\biggr\}.</math>

对<math>\delta \leq \delta' </math>有<math>\varphi_\delta \geq \varphi_{\delta'}</math> 成立，因为<math>\delta </math>减小时，[[下确界]]是在更小的集合上取得的。所以

:<math> \lim_{\delta \rightarrow 0} \varphi_\delta(E) = \varphi_0(E) \in [0, \infty]</math>

存在（可能是无穷大）。

这样构造的<math>\varphi_0</math>是一个度量外测度。这个构造也就是定义[[豪斯多夫维数]]时用的外测度。

== 參考 ==

* [[Paul Halmos|P. Halmos]], ''Measure theory'', D. van Nostrand and Co., 1950

* M. E. Munroe, ''Introduction to Measure and Integration'', Addison Wesley, 1953

[[Category:测度论|U]]