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在[[数学]]中，'''外共变导数'''（{{lang|en|exterior covariant derivative}}），时或称为'''共变外导数'''（{{lang|en|covariant exterior derivative}}），是{{le|流形上的微积分|calculus on manifolds}}中一个非常有用的概念，它可能将利用[[联络 (主丛)|主联络]]的公式化简。

设 ''P'' &rarr; ''M'' 是[[光滑流形]] ''M'' 上一个[[主丛|主 ''G''-丛]]。如果 <math>\phi </math> 是 ''P'' 上一个[[张量性形式|张量性 ''k''-形式]]，则其外共变导数定义为：

:<math>D\phi(X_0,X_1,\dots,X_k)=\mathrm{d}\phi(h(X_0),h(X_1),\dots,h(X_k))</math>
这里 ''h'' 表示到[[水平子空间]]的投影，<math>H_x</math> 由联络定义，其[[核 (代数)|核]]为该[[纤维丛]]的[[全空间]]切丛的 <math>V_x</math>（[[铅直子空间]]）。这里 <math>X_i</math> 是 ''P'' 上任何向量场。''D''&phi; 是 ''P'' 上一个张量性 ''k''+1 形式。

不像通常的[[外导数]]的平方是 0，我们有
:<math>D^2\phi=\Omega\wedge\phi</math>
这里 <math>\Omega</math> 表示[[曲率形式]]。特别的 <math>D^2</math> 对[[平坦联络]]消没。

== 物理學 ==
若A是[[聯絡形式]]、f是函數，則'''外共变导数'''是

<math>d_D f = (d+A)f</math>

若<math>M \in End(E)</math>是矩陣函數（E是[[主叢]]；例如，屬於G的[[李代數]]），則'''外共变导数'''是

<math>d_D M= dM+[A, M]</math>

而且，若F是[[曲率形式]]，則

<math>F = d_D^2 = d_D A = dA + A^2</math>

[[比安基恒等式]]是

<math>d_D F = d_D^3 = 0</math>

==相关条目==
*[[联络形式#外联络|外联络]]
*[[楊-米爾斯場論]]
*[[陳-西蒙斯形式]]

==参考文献==
*{{cite book | author=[[小林昭七|Kobayashi, Shoshichi]] and [[野水克己|Nomizu, Katsumi]] | title = [[Foundations of Differential Geometry]], Vol. 1 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996 (New edition) |isbn = 0471157333}}
*Baez. Gauge fields, Knots, Gravity.
*Zee ([[徐一鴻]]). QFT in Nutshell.
*Michael Nielsen. Intro to YM. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf {{Wayback|url=http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf |date=20200805225118 }}

{{geometry-stub}}

[[Category:联络]]
[[Category:微分几何]]
[[Category:纤维丛]]