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[[File:MexicanHatMathematica.svg|thumb|250px|Mexican hat]]


在[[數學]]和[[數值分析]]裡， '''Ricker 小波'''<ref>{{cite web |url=http://74.3.176.63/publications/recorder/1994/09sep/sep94-choice-of-wavelets.pdf |title=存档副本 |accessdate=2014-12-27 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141227215059/http://74.3.176.63/publications/recorder/1994/09sep/sep94-choice-of-wavelets.pdf |archivedate=2014-12-27 }}</ref>
:<math>\psi(t) = {2 \over {\sqrt {3\sigma}\pi^{1 \over 4}}} \left( 1 - {t^2 \over \sigma^2} \right) e^{-t^2 \over 2\sigma^2}</math>


是对高斯函數的二阶导数进行取反并归一化的结果，也就是能夠縮放正規化的第二埃爾米特函數。在連續小波的家族當中，埃爾米特小波是個非常特別的存在（應用在連續小波轉換稱作埃爾米特轉換）。Ricker子波經常被採用來模擬地震數據，並作為在計算電動力學的廣譜源項。它通常只在美國才會被稱作'''墨西哥帽小波'''，因為在作为核函数處理2维圖像時，形成了墨西哥寬邊帽的形狀。  由于神經科學家[[大卫·马尔|David Marr]]<ref>{{Cite web |url=http://www2.isye.gatech.edu/~brani/isyebayes/bank/handout20.pdf |title=存档副本 |access-date=2015-01-22 |archive-date=2019-11-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191109052519/https://www2.isye.gatech.edu/~brani/isyebayes/bank/handout20.pdf |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web |url=http://cxc.harvard.edu/ciao/download/doc/detect_manual/wav_theory.html#wav_theory_mh |title=存档副本 |access-date=2015-01-22 |archive-date=2017-07-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170720060301/http://cxc.harvard.edu/ciao/download/doc/detect_manual/wav_theory.html#wav_theory_mh |dead-url=no }}</ref> 的缘故，该函数也被广泛称为 '''Marr wavelet''' 。
:<math>
\psi(x,y) = -\frac{1}{\pi\sigma^4}\left(1-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right) \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2\sigma^2}.
</math>
[[File:Marr-wavelet.jpg|thumb|2D Mexican hat wavelet]]


而多維一般化的墨西哥帽小波稱為''[[高斯函數的拉普拉斯]]''。實際上，這種小波有時會用高斯函数的差來逼近，因為它可以被分離<ref>{{cite web|last=Fisher, Perkins, Walker and Wolfart|title=Spatial Filters - Gaussian Smoothing|url=http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/gsmooth.htm|accessdate=23 February 2014|archive-date=2021-02-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20210213215507/http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/gsmooth.htm|dead-url=no}}</ref>，也因此在二維或者更多維的情況下，能够節省大量的計算時間。規模標準化拉普拉斯 ( <math>L_1</math>-norm) 經常被用來作為一個blob檢測和[[計算機視覺]]應用中的自動規模選擇。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分來逼近。<ref>Brinks R: ''On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function'', Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008</ref>

== 墨西哥帽函數的消失動量 ==

=== 消失動量(vanish moment)的定義： ===
小波轉換中，母小波<math>\psi (t) </math>盡量選越高頻(意即vanish moment大的)越好．此處先介紹消失動量(vanish moment)的定義

k階動量(k-th moment)：

<math>m _{k}  = \int_{-\infty}^{\infty} t^k\,\psi\ (t)\, dt</math>

若<math>m _{0}  = m _{1}  = m _{2}  = .....=m _{p-1}  =0</math>，則我們稱母小波<math>\psi (t) </math>的消失動量(vanish moment)為p

消失動量(vanish moment)越高，經內積後被濾掉的低頻成分越多．

=== 墨西哥帽函數的消失動量(vanish moment)： ===
墨西哥帽函數的數學表示式:

<math> \psi(t)=\frac{2^{5/4}}{\sqrt{3}}(1-2 \pi t^2)e^{- \pi t^2} </math>

仔細觀察，<math>\psi(t)</math> 其實是高斯函數的二次微分:

<math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2}, C= </math> 常數。

而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數

<math>\psi(t) = C \frac{d^2}{dt^2}e^{- \pi t^2} \to -C4 \pi ^2 f^2 e^{- \pi f^2} </math>

利用<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>

可以算出<math>m_0=m_1=0, m_2 \neq 0</math>

所以墨西哥帽函數的消失動量為2。

=== 高斯函數p次微分的消失動量(vanish moment)： ===
高斯函數的p次微分的數學表示式:

<math>\psi(t) = \frac{d^p}{dt^p}e^{- \pi t^2}</math>

其傅立葉轉換為<math>(j2 \pi f)^p e^{- \pi f^2} </math>。

利用<math>\frac{1}{(-j2 \pi)^k}G^{(k)}(0) = \int t^kg(t)\, dt</math>

可以算出<math>m_0=m_1=m_{p-1}, m_p \neq 0</math>。

所以高斯函數p次微分的消失動量為p。

同時也可以印證，墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，消失動量為2

==參考文獻==
{{reflist}}

[[Category:連續時間小波轉換]]