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[[代數]]中，'''增廣理想'''是可以在任何[[群環]]中定義的一種[[理想 (環論)|理想]]。若''G''是[[群]]，''R''是[[交換環]]，則有一個自群環''R''[''G'']至''R''的[[環同態]]<math>\varepsilon</math>，稱為'''增廣映射'''，將''R''[''G'']的元素
:<math>\sum r_i g_i</math>
映射至
:<math>\sum r_i</math>
其中''r''<sub>''i''</sub>是''R''的元素，''g''<sub>''i''</sub>是''G''的元素。按照群環的定義，以上的和是有限和。較籠統而言，對''G''任何元素''g''，定義
: <math>\varepsilon(g)</math>
為1<sub>''R''</sub>，再將<math>\varepsilon</math>以最顯然的方法延伸成''R''-[[模]]的[[同態]]。'''增廣理想'''是<math>\varepsilon</math>的[[核 (代數)|核]]，因此是''R''[''G'']的雙邊理想，由群元素的差
: <math> g - g'</math>
生成。

此外，增廣理想是[[自由模|自由]]''R''-模，可用
: <math> g - 1 , g\in G </math>
為其基底而生成。

對上述的''R''和''G''，群環''R''[''G'']是'''增廣'''''R''-代數的一例。這樣的代數都帶有一個映至''R''上的環同態。這個環同態的核是這個代數的增廣理想。

增廣理想的另一類例子是任何[[霍普夫代數]]的[[餘單位元]]<math>\varepsilon</math>的核。

增廣理想是[[群上同調]]等應用中的基本工具。

==參考==
* {{cite book | author=D. L. Johnson | title=Presentations of groups | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=15 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1990 | isbn=0-521-37203-8 | pages=149–150 }}

[[分類:理想]]