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[[File:Ceva's theorem 1.svg|thumb|upright=1.1|三条线段的交点''O'' 位于三角形ABC的内部]]
[[File:Ceva's theorem 2.svg|thumb|upright=1.1|三条线段的交点''O'' 位于三角形ABC的外部]]
'''塞瓦線'''，或稱為'''賽瓦線段'''是各[[頂點 (幾何)|顶点]]与其对边或对边延长线上的一点连接而成的[[直线|直线段]]。'''塞瓦定理'''（{{lang-en|Ceva's theorem}}）指出：如果<math>\triangle ABC</math>的塞瓦線段<math>\overline{AD}</math> 、<math>\overline{BE}</math>、<math>\overline{CF}</math> 通过同一点<math>O</math>，则

:<math>\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1</math>

它的逆定理同样成立：若<math>D</math>、<math>E</math>、<math>F</math>分别在<math>\triangle ABC</math>的边<math>\overline{BC}</math>、<math>\overline{CA}</math>、<math>\overline{AB}</math>或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足

:<math>\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=1</math>，

则直线<math>\overline{AD}</math>、<math>\overline{BE}</math>、<math>\overline{CF}</math>共点或彼此[[平行]]（於無限遠處共點）。当<math>\overline{AD}</math>、<math>\overline{BE}</math>、<math>\overline{CF}</math>中的任意两直线交于一点時，则三直线共点；当<math>\overline{AD}</math>、<math>\overline{BE}</math>、<math>\overline{CF}</math>中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由[[意大利]]數學家[[喬瓦尼·塞瓦]]證明，因而得名。此定理又譯'''西瓦定理'''或'''帥氏定理'''。

==证明==
: 設  h = A 到 <math> \overline{BC}  </math> 的距離
: <math>\triangle ABD</math> 的面積 = <math> (1/2) \cdot h \cdot \overline{BD}</math>  
: <math>\triangle ADC</math> 的面積 = <math> (1/2) \cdot h \cdot \overline{DC}</math>  
: <math> \therefore \triangle ABD</math> 的面積 / <math>\triangle ADC</math> 的面積 =  <math> \overline{BD} / \overline{DC} </math>  

: <math>\because\quad\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle ABD}}{\mathrm{S}_{\triangle ADC}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle OBD}}{\mathrm{S}_{\triangle ODC}}.</math>

由[[等比性质]],

: <math>\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle ABD} - \mathrm{S}_{\triangle OBD}}{\mathrm{S}_{\triangle ADC} - \mathrm{S}_{\triangle ODC}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle ABO}}{\mathrm{S}_{\triangle CAO}}.</math>

: 同理 <math>\frac{\overline{CE}}{\overline{EA}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle BCO}}{\mathrm{S}_{\triangle ABO}},\;\frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle CAO}}{\mathrm{S}_{\triangle BCO}}.</math>

: <math>\therefore\quad\frac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \cdot \frac{\overline{CE}}{\overline{EA}} \cdot \frac{\overline{AF}}{\overline{FB}}=\frac{\mathrm{S}_{\triangle ABO}}{\mathrm{S}_{\triangle CAO}} \cdot \frac{\mathrm{S}_{\triangle BCO}}{\mathrm{S}_{\triangle ABO}} \cdot \frac{\mathrm{S}_{\triangle CAO}}{\mathrm{S}_{\triangle BCO}}=1.</math>

证毕。<ref name=r1>{{cite book |title=Pure Geometry
|first=John Wellesley|last=Russell|publisher=Clarendon Press|year=1905
|chapter= Ch. 1 §7 Ceva's Theorem
|url=https://books.google.com/books?id=r3ILAAAAYAAJ}}</ref><ref>[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind (1996), ''Challenging Problems in Geometry'', pages 177–180, Dover Publishing Co., second revised edition.</ref>

==推论：[[角平分線定理]]==
在三角形<math>ABC</math>中，<math>\angle A</math>的[[角平分線]]交<math>\overline{BC}</math>於<math>D</math>，<math>\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}</math>。

==參見==
*[[梅涅劳斯定理]]
*[[莫雷角三分線定理]]

[[Category:几何定理]]
[[Category:三角形几何]]
[[Category:仿射几何]]