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{{NoteTA|G1=Math}}
[[代數拓撲]]中的'''塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理'''，將一個[[拓撲空間]]的[[基本群]]，用覆蓋這空間的兩個[[開集|開]]且[[路徑連通]]的子空間的基本群來表示。

==定理敍述==
設<math>X</math>為拓撲空間，有兩個開且路徑連通的子空間<math>U_1, U_2</math>[[開覆蓋|覆蓋]]<math>X</math>，即<math>X = U_1 \cup U_2</math>，並且<math>U_1 \cap U_2</math>是非空且路徑連通。取<math>U_1 \cap U_2</math>中的一點<math>x_0</math>為各空間的基本群的基點。那麼從<math>U_1 \cap U_2</math>到<math>U_1</math>及<math>U_2</math>的[[包含映射]]導出相應基本群的[[群同態]]：（以下省略基本群中的基點。）
:<math>\phi_1: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_1)</math>
:<math>\phi_2: \pi_1(U_1 \cap U_2) \to \pi_1(U_2)</math>
塞弗特－范坎彭定理指出<math>X</math>的基本群，是<math>U_1, U_2</math>的基本群的[[自由積|共合積]]：
:<math>\pi_1(X) = \pi_1(U_1) *_{\pi_1(U_1 \cap U_2)} \pi_1(U_2)</math>
用[[範疇論]]來說，<math>\pi_1(X)</math>是在[[群]][[範疇 (數學)|範疇]]中圖表
: <math>\pi_1(U_1) \leftarrow {\pi_1(U_1 \cap U_2)} \rightarrow \pi_1(U_2)</math>
的[[推出 (範疇論)|推出]]。

這定理可以推廣至<math>X</math>的任意多個開子空間的覆蓋：
設
*<math>X</math>為路徑連通拓撲空間，<math>x_0</math>為<math>X</math>的一點，
*<math>\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}</math>由路徑連通的開集組成，為<math>X</math>的開覆蓋，
*任何一個<math>U_\lambda</math>都有點<math>x_0</math>，
*對任何<math>\lambda, \mu\in \Lambda</math>，都有<math>\nu \in \Lambda</math>，使得<math>U_{\lambda}\cap U_{\mu} = U_\nu</math>。
當<math>U_\lambda \subset U_\mu</math>，令
:<math>\phi_{\lambda\mu}: \pi_1(U_\lambda) \to \pi_1(U_\mu)</math>
為由包含所導出的群同態。又令
:<math>\psi_{\lambda}: \pi_1(U_\lambda) \to \pi_1(X)</math>
為由<math>U_\lambda \subset X</math>所導出的群同態。那麼<math>\pi_1(X)</math>有下述的[[泛性質]]：

設<math>H</math>為群，對所有<math>\lambda\in \Lambda</math>有群同態<math>\rho_\lambda: \pi_1(U_\lambda)\to H</math>，使得若<math>U_\lambda \subset U_\mu</math>，則
:<math>\rho_\mu \circ \phi_{\lambda\mu} = \rho_\lambda</math>。
那麼存在唯一的群同態<math>\sigma: \pi_1(X) \to H</math>，使得對所有<math>\lambda\in \Lambda</math>，都有
:<math>\rho_\lambda = \sigma \circ \psi_\lambda</math>。

這個泛性質決定唯一的<math>\pi_1(X)</math>。（不別[[群同構]]之異。）

==參考==
*{{cite book|first1=William|last1=Massey|title=A Basic Course in Algebraic Topology|year=1991|series=Graduate Texts in Mathematics |volume=127| publisher=Springer-Verlag}}

[[分類:代數拓撲|S]]