查看“︁基 (拓撲學)”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}在[[拓扑学]]的相关领域中，'''拓撲基'''({{lang-en | base 或 basis}}) 是某種特殊[[集合族]]，它們的任意[[并集]]構成了一個[[拓扑空间#开集系|拓扑空間]]的開集。基在拓扑学的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的[[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]就可以直接對基來做定義。

== 動機 ==
拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意[[并集]]都是「[[拓扑空间#开集系|开]]」的；嚴謹來說，令 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 為[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math>  的一個[[集合族|子集族]]，希望 <math>\mathcal{F}</math> 內任意一群子集之[[并集]]所組成的 <math>\mathcal{U}</math> ：

: <math>\mathcal{U}
:=
\left\{
U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\,
    (\exists \mathcal{A})\left[
    (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right)
\right]
\right\}</math>

為 <math>X</math> 上的[[拓扑空间#开集系|拓扑]]。

{{math_theorem
| math_statement = <br/>
[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math> 有[[集合族|子集族]] <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> ， 設 ：

: <math>
\tau
:=
\left\{
U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\,
    (\exists \mathcal{A})\left[
    (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right)
\right]
\right\}
</math>

則「 <math>\tau</math> 為 <math>X</math> 上的[[拓扑空间#开集系|拓扑]] 」，等價於以下兩條件：

* <math>
\bigcup\mathcal{F} = X 
</math>
* 對所有 <math>B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}</math> ，<math>B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U} </math>
| name = 定理
}}
:
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
以下逐條檢驗[[拓扑空间#开集系|拓扑]]的定義：

(1) '''等價於「 <math>X \in \mathcal{U}</math>」的條件'''

若 <math>X \in \mathcal{U}</math> ，則：

: <math>
(\exists \mathcal{A})\left[
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
\left(\bigcup\mathcal{A} = X \right)
\right]
</math>(a)

考慮到 <math>\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> ，所以根據有[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(1)與(2)有

: <math>
\bigcup\mathcal{F} \subseteq X 
</math>

但根據[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(1)，(a)又等價於：

: <math>
(\exists \mathcal{A})\left[
(\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(\bigcup\mathcal{A} = X \right)
    \wedge
    \left(\bigcup\mathcal{A} \subseteq \bigcup\mathcal{F} \right)
\right]
</math>

所以有：

: <math>
X \subseteq \bigcup\mathcal{F}
</math>

所以從 <math>X \in \mathcal{U}</math> 有：

: <math>
\bigcup\mathcal{F} = X 
</math> (a1)

反之若有 (a1)，因為 <math>
\mathcal{F} \subseteq \mathcal{F}
</math> ，所以有 <math>X \in \mathcal{U}</math> 。故在本定理的前提下，(a1)等價於 '''<math>X \in \mathcal{U}</math>''' 。

(2) '''<math>\varnothing \in \mathcal{U}</math>'''

首先考慮到 '''<math>\varnothing \subseteq \mathcal{F}</math>'''，然後從[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(0)有 '''<math>\varnothing = \bigcup\varnothing</math>'''，故 <math>\varnothing \in \mathcal{U}</math>。

(3)  '''對任意 <math>\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}</math> 有 <math>\bigcup\mathfrak{A} \in \mathcal{U}</math>'''

首先，<math>\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}</math> 可等價地展開為

: <math>
(\forall A \in \mathfrak{A})(\exists \mathcal{B})\left[
    (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(\bigcup\mathcal{B} = A \right)
\right]   
</math>(b)

上式可直觀地解釋成「 <math>A \in \mathfrak{A}</math> 都是 <math>\mathcal{F}</math> 內某些集合的[[并集]]」，既然如此，取一個蒐集各種不同 <math>A </math> 的[[子集]]的集族 <math>\mathcal{P}_{\mathfrak{A}}</math> ：

: <math>\mathcal{P}_{\mathfrak{A}}
:=
\left\{
    S \, | \,
    (\exists A)[
        (A \in \mathfrak{A})
        \wedge
        (S \subseteq A)
    ]
\right\} </math>

這樣根據[[交集#有限交集|有限交集]]的性質，<math>x \in \bigcup (\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F})</math> 等價於

: <math>
(\exists S)\left\{
    (x \in S)
    \wedge
    (S \in \mathcal{F})
    \wedge
    (\exists A)\left[
        (A \in \mathfrak{A})
        \wedge
        (S \subseteq A)
    \right]
\right\} 
</math>

考慮到[[一阶逻辑]]的定理[[一阶逻辑#量詞的簡寫|(Ce)]]，將<math>
(\exists A)  
</math> 移至最前，再將<math>
(\exists S)  
</math>移入括弧內 ，上式就依據[[一阶逻辑#等價代換|(Equv)]]而等價於
: <math>
(\exists A)\left\{
    (A \in \mathfrak{A})
    \wedge
    (\exists S)\left[
        (x \in S)
        \wedge
        (S \in \mathcal{F})
        \wedge
        (S \subseteq A)
    \right]
\right\} 
</math>

也就等價於

: <math>
(\exists A)\left\{
    (A \in \mathfrak{A})
    \wedge
    \left(x \in \bigcup [\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{F}]\right)
\right\} 
</math>

根據[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(4)，從(b)有

: <math>
(\forall A \in \mathfrak{A})(\exists \mathcal{B})\left\{
    (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left\{A \subseteq \bigcup[\mathcal{B} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}
\right\}   
</math>

這樣根據[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(1)又會有

: <math>
(\forall A \in \mathfrak{A})
\left\{A \subseteq \bigcup[\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A)]\right\}

   
</math>

考慮到 <math>
\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}(A)
   
</math> ，從[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(1)與定理(2)有

: <math>
\bigcup\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A) \subseteq A 
   
</math>

所以最後從(b)有

: <math>
(\forall A \in \mathfrak{A})
\left\{A = \bigcup[\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(A)]\right\} 

   
</math>

所以 <math>x \in \bigcup (\mathcal{P}_\mathfrak{A} \cap \mathcal{F})</math> 最後等價於

: <math>
(\exists A)\left[
    (A \in \mathfrak{A})
    \wedge
    (x \in A)
\right] 
</math>

換句話說

: <math>
x \in \bigcup \mathfrak{A}  
</math>

這樣考慮到 <math>
\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F} \subseteq \mathcal{F} 
</math> 就有

: <math>
\bigcup \mathfrak{A} = \bigcup (\mathcal{P}_{\mathfrak{A}} \cap \mathcal{F}) \in \mathcal{U} 
</math>

所以在本定理的前提下， 對所有 '''<math>\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{U}</math>''' 都有 <math>\bigcup\mathfrak{A} \in \mathcal{U}</math> 。

(4)'''等價於「 <math>U,\,V \in \mathcal{U}</math> 則 <math>U \cap V \in \mathcal{U}</math>」的條件'''

若

: 「對所有的 <math>U,\,V \in \mathcal{U}</math> 有 <math>U \cap V \in \mathcal{U}</math>」(P)

因取任意 <math>B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}</math> 都有：

: <math>
B_1 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U} 
</math>
: <math>
B_2 = \bigcup\{B_1\} \in \mathcal{U} 
</math>

故 <math>B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U} </math> ，換句話說從假設(P)可以推出：

: 「對所有 <math>B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}</math> ，<math>B_1 \cap B_2 \in \mathcal{U} </math>」(P')

另一方面， <math>U \cap V \in \mathcal{U}</math> 可等價地展開為：

: <math>
(\exists \mathcal{E})\left\{
    (\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(U \cap V = \bigcup\mathcal{E}\right)
\right\}   
</math>

因為 <math>U,\,V \in \mathcal{U}</math> 可等價地展開為：

: <math>
(\exists \mathcal{A})\left[
    \left(U = \bigcup \mathcal{A}\right)
    \wedge
    (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
\right]  
 
</math>
: <math>
(\exists \mathcal{B})\left[
    \left(V = \bigcup \mathcal{B}\right)
    \wedge
    (\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F})
\right]  
 
</math>

所以在 <math>U,\,V \in \mathcal{U}</math> 的前提下  <math>U \cap V \in \mathcal{U}</math> 又可更進一步等價地展開為：

: <math>
(\exists \mathcal{A})(\exists \mathcal{B})(\exists \mathcal{E})\left\{
    (\mathcal{A},\,\mathcal{B},\,\mathcal{E} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(U = \bigcup\mathcal{A}\right)
    \wedge
    \left(V = \bigcup\mathcal{B}\right)
    \wedge
    \left[\left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right) = \bigcup\mathcal{E}\right]
\right\}   
</math>

此時考慮到[[一阶逻辑]]的定理[[一阶逻辑#量詞的簡寫|(Ce)]]，連續使用兩次會有：

: <math>
\left[x \in \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right)\right]
\Leftrightarrow
(\exists A)(\exists B)[
    (A \in \mathcal{A})
    \wedge
    (B \in \mathcal{B})
    \wedge
    (x \in A \cap B)
] 
 
 
</math>

這樣的話，若取一個包含所有 <math>
A \cap B 
 
 
</math> 的集族：

: <math>
\mathcal{C}
:=
\left\{
S \in \mathcal{P}(X) \, \big| \,
    (\exists A)(\exists B)[
        (A \in \mathcal{A})
        \wedge
        (B \in \mathcal{B})
        \wedge
        (S = A \cap B)
    ]
\right\} 
 
 
</math>

這樣就有：

: <math>
\bigcup\mathcal{C} = \left(\bigcup\mathcal{A}\right) \cap \left(\bigcup\mathcal{B}\right) 
 
 
</math>

而且考慮到 <math>
\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F}  
 
</math> 和 <math>
\mathcal{B} \subseteq \mathcal{F}  
 
</math> ，所以在(P')的前提下，所有的 <math>
A \cap B 
 
 
</math> 都在 <math>\mathcal{U}</math> 裡，換句話說，<math>\mathcal{C} \subseteq \mathcal{U}</math> ，故從上小結的結果有：

: <math>
U \cap V \in \mathcal{U} 
 
 
</math>

所以，(P')跟(P)'''等價'''。

綜合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得證。<math>\Box</math>
|}

一般會根據[[并集#无限并集的性質|无限并集性質]]的定理(4)，將第二個條件等價的寫為：
: 「對所有 <math>B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}</math> ， <math>
B_1 \cap B_2
=
\bigcup [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)]  
 </math>」
也就等價於：
: 「所有的 <math>B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}</math> ，對任意 <math> x \in B_1 \cap B_2 </math> 都存在 <math> C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)] </math> 使得 <math> x \in C </math>」
== 定義 ==

由上面動機一節的定理，可以作如下的定義：

{{Math theorem
| name = 定義
| math_statement = <br/>
<math>\mathfrak{B} \subseteq \mathcal{P}(X)</math> 為[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math>  的一個[[集合族|子集族]]，若滿足：

* <math>
\bigcup\mathfrak{B} = X 
</math>　（基的元素[[覆盖 (拓扑学)|覆蓋]]<math>X</math>）
* 所有的 <math>B_1,\,B_2 \in \mathcal{F}</math> ，對任意 <math> x \in B_1 \cap B_2 </math> 都存在 <math> C \in [\mathcal{F} \cap \mathcal{P}(B_1 \cap B_2)] </math> 使得 <math> x \in C </math>

則稱 <math>\mathfrak{B}</math> 為 <math>X</math> 的一個'''拓撲基'''（Topological Basis）。而：

: <math>\tau
:=
\left\{
U \in \mathcal{P}(X) \,\bigg|\,
    (\exists \mathcal{A})\left[
    (\mathcal{A} \subseteq \mathcal{F})
    \wedge
    \left(\bigcup\mathcal{A} = U \right)
\right]
\right\}</math>

則稱為'''由基 <math>\mathfrak{B}</math> 所生成的拓撲'''。
}}

=== 範例 ===
以所有[[實數線]]中的[[開區間]]為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

* 任意實數 <math>r \in \R</math> 都包含在某個開區間裡，如 <math>(r-1,\,r+1)</math> 。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。
* 任何兩個開區間的交集要么也是開區間要么為空。
* 對任意開區間 <math>(a,\,b)</math> 內的實數 <math>c \in (a,\,b)</math> ，都有一個比 <math>(a,\,b)</math> 更小的開區間也包含 <math>c</math> ，如 <math>\left(
\frac{a+c}{2},\,\frac{b+c}{2}
\right)</math> 。

這些性質正好滿足拓撲基的定義。

更一般的來說，以[[度量空间]]的[[球 (数学)#一般度量空間裡的球|開球]]為元素所構成的集合是拓撲基，因為：

* 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。
* 取任二開球<math>B_{r_a}(a)</math>和<math>B_{r_b}(b)</math>，若<math>x \in B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)</math>，且 <math>r = \min \{r_a - d(x,\,a),\,r_b - d(x,\,b)\}</math>，則<math>B_r(x) \subseteq B_{r_a}(a) \cap B_{r_b}(b)</math>。

== 重要性質 ==
{{math_theorem
| math_statement = <br/>
<math>\mathcal{B}</math> 是[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math> 的拓撲基，則 <math>\mathcal{B}</math> 生成的拓撲是包含 <math>\mathcal{B}</math> 的[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]]
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|設 <math>\mathcal{B}</math> 所生成的拓撲是 <math>\tau_\mathcal{B}</math> ；另一方面包含 <math>\mathcal{B}</math> 的[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]]為 <math>\tau(\mathcal{B})</math> 。
根據[[拓撲比較#最粗拓撲|最粗拓撲]]的定義有：
:<math>\vdash
(\forall S)\big\{
    [S \in \tau(\mathcal{B})]
    \Leftrightarrow
    (\forall \mathfrak{T})\{
        [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X)
        \wedge
        (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})]
        \Rightarrow
        (S \in \mathfrak{T})
    \}
\big\}  

 </math>(a)

那以[[一阶逻辑#量词公理|量词公理(A4)]] 將 <math>\forall S</math> 去掉會有：
:<math>\vdash
[S \in \tau(\mathcal{B})]
\Leftrightarrow
(\forall \mathfrak{T})\{
    [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})]
    \Rightarrow
    (S \in \mathfrak{T})
\} 
</math>

那再使用[[一阶逻辑#量词公理|量词公理(A4)]]，配合[[一阶逻辑#演繹元定理|(D1)]]會有：
:<math>\vdash
[S \in \tau(\mathcal{B})]
\Rightarrow
\{
    [(\tau_B \text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{B} \subseteq \tau_B)]
    \Rightarrow
    (S \in \tau_B)
\} 
 
</math>

因為 <math>\tau_\mathcal{B}</math> 是 <math>\mathcal{B}</math> 所生成的拓撲，配合[[一阶逻辑#演繹元定理|(D2)]]有：（<math>\mathcal{P}</math> 為 「<math>\mathcal{B}</math> 是 <math>X</math> 的拓撲基」的正式敘述）
:<math>\mathcal{P}
\vdash
[S \in \tau(\mathcal{B})]
\Rightarrow
(S \in \tau_B)

</math>

另一方面，根據拓撲基的定義有：
:<math>
\mathcal{P},\,
S \in \tau_B
\vdash
(\exists \mathcal{C})\left[
    \left(S = \bigcup \mathcal{C}\right)
    \wedge
    (\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B})
\right]  
</math>

而根據[[拓扑空间#开集系|拓扑]]的定義(關於聯集的部分)與[[一阶逻辑#演繹元定理|演繹定理]]會有：
:<math>
\mathcal{P},\,
[(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X)
\wedge
(\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})],\,
\left[\left(S = \bigcup \mathcal{C}\right)
\wedge
(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B})
\right]
\vdash
(S \in \mathfrak{T})  
</math>

這樣根據[[一阶逻辑#普遍化元定理|(GEN)]]與[[一阶逻辑#演繹元定理|演繹定理]]就有：
:<math>
\mathcal{P},\,
[(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X)
\wedge
(\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})]
\vdash
(\exists C)\left[\left(S = \bigcup \mathcal{C}\right)
\wedge
(\mathcal{C} \subseteq \mathcal{B})
\right]
\Rightarrow
(S \in \mathfrak{T})
  
</math>

換句話說，從[[一阶逻辑#演繹元定理|演繹定理]]與[[一阶逻辑#演繹元定理|(D1)]]有：
:<math>
\mathcal{P},\,
S \in \tau_B
\vdash
[(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X)
\wedge
(\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})]
\Rightarrow
(S \in \mathfrak{T})  
</math>

那從[[一阶逻辑#普遍化元定理|普遍化元定理]]就有：
:<math>
\mathcal{P},\,
S \in \tau_B
\vdash
(\forall \mathfrak{T})\{
    [(\mathfrak{T}\text{ is a topology of } X)
    \wedge
    (\mathcal{B} \subseteq \mathfrak{T})]
    \Rightarrow
    (S \in \mathfrak{T})
\}   
</math>

這樣從(a)，配合[[一阶逻辑#且與或的直觀意義|(AND)]]與[[一阶逻辑#演繹元定理|(D1)]]就有：
:<math>
\mathcal{P},\,
S \in \tau_B
\vdash
S \in \tau(\mathcal{B})  
</math>

這樣從[[一阶逻辑#且與或的直觀意義|(AND)]]和[[一阶逻辑#演繹元定理|演繹定理]]就有：
:<math>
\mathcal{P}
\vdash
(S \in \tau_B)
\Leftrightarrow
[S \in \tau(\mathcal{B})]
  
</math>

套用[[一阶逻辑#普遍化元定理|(GEN)]]將 <math>\forall S</math> 重新加入就會有：
:<math>\mathcal{P}
\vdash
\tau_B
=
\tau(\mathcal{B}) 
</math>

故本定理得証。<math>\Box </math>
|}
{{math_theorem
| math_statement = <br/>
<math>\mathcal{B}_1</math> 和 <math>\mathcal{B}_2</math> 都是[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math> 的拓撲基，而 <math>\tau_1</math> 為 <math>\mathcal{B}_1</math> 生成的拓撲； <math>\tau_2</math> 為 <math>\mathcal{B}_2</math> 生成的拓撲，則以下兩敘述價

* <math>\tau_1 \subseteq \tau_2</math>
* <math>(\forall B_1 \in \mathcal{B}_1)(\exists B_2 \in \mathcal{B}_2)(B_2 \subseteq B_1)</math>
}}
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
|}
* 如果 ''B''<sub>1</sub>,''B''<sub>2</sub>,...,''B''<sub>''n''</sub> 是拓撲 ''T''<sub>1</sub>,''T''<sub>2</sub>,...,''T''<sub>''n''</sub> 的基，則[[笛卡爾積|集合積]] ''B''<sub>1</sub> × ''B''<sub>2</sub> × ... × ''B''<sub>''n''</sub> 是[[積空間|乘積拓撲]] ''T''<sub>1</sub> × ''T''<sub>2</sub> × ... × ''T''<sub>''n''</sub> 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。
* 設 ''B'' 是 ''X'' 的基并設 ''Y'' 是 ''X'' 的[[拓撲空間|子空間]]。那么如果我們交 ''B'' 的每個元素於 ''Y''，結果的集合的搜集是子空間 ''Y'' 的基。

{{math_theorem
| math_statement = <br/>
<math>\mathfrak{B}</math>是[[集合 (数学)|集合]]<math>Y</math> 的拓撲基（其生成的拓撲為<math>\tau_Y</math>）； <math>(X,\,\tau_X)</math>為一[[拓扑空间]]；<math>f:X \to Y</math>為一[[函数]]。若對任意<math>B \in \mathfrak{B}_Y</math>有<math>f^{-1}(B) \in \tau_X</math>，則<math>f</math>是<math>\tau_X</math>-<math>\tau_Y</math>[[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]。
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|若<math>O \in \tau_Y</math>，根據基的定義，存在<math>\mathcal{F} \subseteq \mathfrak{B}</math>使得：
:<math>
O = \bigcup \mathcal{F}  
</math>

這樣的話，若取：
:<math>
f^{-1}(\mathcal{F})
=
\{A\,|
(\exists B \in \mathcal{F})(A = f^{-1}(B))
\,\}  
</math>

則有：
:<math>
f^{-1}(O) = \bigcup f^{-1}(\mathcal{F})  
</math>
:<math>
f^{-1}(\mathcal{F}) \subseteq \tau_X  
</math>

這樣根據拓撲空間的定義就有：
:<math>
f^{-1}(O) = \bigcup f^{-1}(\mathcal{F}) \in \tau_X  
</math>

故<math>f</math>是<math>\tau_X</math>-<math>\tau_Y</math>[[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]。<math>\Box</math>
|}

* ''X'' 的子集的搜集是 ''X'' 上的拓撲當且僅當它生成自身。
* ''B'' 是拓撲空間 ''X'' 的基，當且僅當 ''B'' 的包含 ''x'' 的元素的子搜集形成在 ''x'' 上的[[局部基]]，對于 ''X'' 的任何點 ''x''。
* 給定拓撲的一個基，要證明[[網_(數學)|網]]或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。

== 依據基定義的對象 ==

* [[序拓撲]]通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。
* [[度量空間|度量拓撲]]通常定義為[[開球]]的搜集生成的拓撲。
* [[第二可數空間]]是有[[可數集合|可數]]基的拓撲。
* [[離散拓撲]]有由所有[[單元素集合]]組成的基。

== 閉集基 ==

[[閉集]]同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 ''X''， ''X'' 的'''閉集基'''是閉集的集合族 ''F'' 使得任何閉集 ''A'' 是 ''F'' 的元素的[[交集]]。

等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 ''A'' 和每個不在 ''A'' 中的點 ''x''，存在一個 ''F'' 的元素包含 ''A'' 但不包含 ''x''。

容易檢查 ''F'' 是 ''X'' 的閉集基，當且僅當 ''F'' 的成員的[[補集]]的集合族是 ''X'' 的開集基。

設 ''F'' 是 ''X'' 的閉集基。則
# <big>∩</big>''F'' = ∅
# 對於每個 ''F''<sub>1</sub> 和 ''F''<sub>2</sub> 在 ''F'' 中，并集 ''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub> 是 ''F'' 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 ''F''<sub>1</sub> 或 ''F''<sub>2</sub> 的 ''x''，存在一個 ''F''<sub>3</sub> 在 ''F'' 包含 ''F''<sub>1</sub> ∪ ''F''<sub>2</sub> 并不包含 ''x'')。
滿足這些條件的集合 ''X'' 的任何子集搜集形成 ''X'' 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 ''F'' 的成員的交集。

在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是[[完全正規空間]]，當且僅當它的[[零集]]形成了閉集基。給定任何拓撲空間 ''X''，零集形成在 ''X'' 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 ''X''上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 '''A'''<sup>''n''</sup> 上的 [[環的譜#扎里斯基拓撲|Zariski拓撲]]被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。

== 準基 ==
若拓扑空間<math>X</math>是最小的[[拓扑]]使得<math>X</math>的子集的集<math>B</math>都是<math>X</math>的開集，則稱<math>B</math>為<math>X</math>的一個'''準基'''（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若<math>B</math>及其所有有限交集構成了拓扑空間<math>X</math>之基，則<math>B</math>為'''準基'''。

例子：
* 在[[實數]]線上，所有長度為1的開[[區間]]便是一個準基。

[[詹姆斯·韋德爾·亞歷山大|J.W. 亞歷山大]]證明了：若每個準基[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是[[緊緻]]的。

==注釋==
{{notelist|iger=}}

==參考文獻==
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* [[James Munkres]] (1975) ''Topology: a First Course''. Prentice-Hall.
* Willard, Stephen (1970) ''General Topology''. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.
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{{点集拓扑}}

[[Category:点集拓扑学|J]]