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{{Redirect2|子域|域名系統中的子域|子域名}}
{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
'''域扩张'''（{{lang-en|Field extensions}}）是[[数学]]分支[[抽象代数]]之[[域论]]中的主要研究对象，基本想法是从一个基[[体 (数学)|域]]开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为{{le|环扩张|Ring_extension}}。

== 定义 ==
设{{mvar|K}}和{{mvar|L}}是两个[[域 (數學)|域]]。如果存在从{{mvar|K}}到{{mvar|L}}的[[环同态|域同态]]{{mvar|ι}}，则称({{mvar|L}},{{mvar|ι}})是{{mvar|K}}的一个'''域扩张'''，记作{{mvar|L/K}}或{{mvar|K}}⊆{{mvar|L}}、{{mvar|K}}⊂{{mvar|L}}{{r|acl|page=9}}。{{mvar|K}}称为域扩张的'''基域'''，{{mvar|L}}称为{{mvar|K}}的'''扩域'''{{r|gtm167|page=2}}。如果某个域{{mvar|F}}既是{{mvar|K}}的扩域，又是{{mvar|L}}的'''子域'''，则称域扩张{{mvar|F/K}}是域扩张{{mvar|L/K}}的'''子扩张'''，称{{mvar|F}}（域扩张{{mvar|L/K}}的）'''中间域'''。

域扩张的记法{{mvar|L/K}}只是形式上的标记，不表示存在任何[[商环]]或[[商群]]等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为{{mvar|L}}:{{mvar|K}}。

另外，因为{{mvar|ι}}是域同态，所以{{mvar|ι}}是[[单射]]<ref>{{cite book|author=Francis Borceux, George Janelidze|title=Galois Theories|year=2001|publisher=Cambridge University Press（插图版, 再版）|language = en|pages=Preface: x|isbn=9780521803090}}</ref>。由于{{mvar|K}}是域，所以{{mvar|ι}}({{mvar|K}})是一个{{mvar|L}}的同构于{{mvar|K}}的子域。很多时候也直接省略{{mvar|ι}}，直接将{{mvar|K}}视为{{mvar|L}}的一个子域{{r|acl|page=9}}。为了记叙方便，下文中将依情况使用这种省略方式<ref group="N">即，在不需要强调{{mvar|ι}}的时候，可以默认基域{{mvar|K}}是扩域{{mvar|L}}的子域。</ref>。

设有域扩张{{mvar|L/K}}，给定一个由{{mvar|L}}中不属于{{mvar|ι}}({{mvar|K}})的元素组成的[[集合 (数学)|集合]]{{mvar|S}}，考虑{{mvar|L}}中所有同时包含{{mvar|ι}}({{mvar|K}})和{{mvar|S}}的子域，其中有一个“最小的”<ref group="N">称某个代数结构是“最小”的，是指它是所有满足条件的代数结构的子集。如果承认[[佐恩引理]]，则这样的“最小”者一定存在：它是所有满足条件的代数结构的交集。下文同。</ref>，称为“在{{mvar|K}}中添加（集合）{{mvar|S}}生成的扩域”，记作{{mvar|K}}({{mvar|S}})。它是所有同时包含{{mvar|ι}}({{mvar|K}})和{{mvar|S}}的域的子域{{r|gtm167|page=4-5}}。如果集合{{mvar|S}}只有一个元素{{mvar|a}}，则称域扩张{{mvar|K}}({{mvar|S}}){{mvar|/K}}为'''单扩张'''，对应的扩域一般简记作{{mvar|K}}({{mvar|a}})。{{mvar|a}}称为这个域扩张的'''本原元'''。

每个域扩张中，扩域可以看作是以基域为系数域的[[向量空间]]。设有域扩张{{mvar|L/K}}，将{{mvar|L}}中元素看作向量，{{mvar|K}}中元素看作系数，可以定义{{mvar|L}}中的域加法运算作为向量的加法运算，同时可以定义{{mvar|K}}中元素作为系数与{{mvar|L}}中元素的数乘运算。可以验证，在这样定义下，{{mvar|L}}是一个{{mvar|K-}}向量空间{{r|acl|gtm167|page1=9|page2=2}}。它的[[维数 (向量空间)|维数]]称为域扩张的'''次数'''或'''度数'''，一般记作[{{mvar|L}}:{{mvar|K}}]{{r|acl|gtm167|page1=9|page2=2}}。次数为1的扩张，扩域和基域同构，称为'''平凡扩张'''。次数有限的域扩张称为'''有限扩张'''，否则称为'''无限扩张'''{{r|acl|gtm167|page1=9|page2=2}}。

== 例子 ==

[[复数 (数学)|复数]]域<math>\mathbb C</math>是[[实数]]域<math>\mathbb R</math>的扩域，而<math>\mathbb R</math>则是[[有理数]]域<math>\mathbb Q</math>的扩域。这样，显然<math>\mathbb{C} \big/ \mathbb R</math>也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数：<math>[\mathbb C : \mathbb{R}] = 2</math>。因为<math>\mathbb C</math>可以看作是以<math>\{1, i\}</math>为[[向量空间|基]]的实向量空间。故扩张<math>\mathbb{C} \big/ \mathbb R</math>是有限扩张{{r|acl|page=10}}。<math>\mathbb{C} = \mathbb R (i)</math>，所以这个扩张是单扩张。

集合<math>\mathbb Q (\sqrt{2}) = \{ a+ b\sqrt{2} ; \; a, b, \in \mathbb{Q} \}</math>是在<math>\mathbb Q</math>中添加<math>\sqrt{2}</math>生成的扩域，显然也是一个单扩张。它的次数是2，因为<math>\{ 1, \sqrt{2}\}</math>可作为一个基。<math>\mathbb Q</math>的有限扩张也称为[[代数数域]]，在[[代数数论]]有重要地位{{r|gtm167|page=2}}。

有理数的另一个扩张域是关于一个[[素数]]{{mvar|p}}的[[p进数|{{mvar|p}}进数]]域<math>\mathbb{Q}_p</math>。它与<math>\mathbb R</math>类似，是有理数域完备化得到的[[数域]]。但由于使用的拓扑不同，所以与<math>\mathbb R</math>有着截然不同的性质。

对任何的素数{{mvar|p}}和正整数{{mvar|n}}，都存在一个元素个数为{{mvar|p<sup>n</sup>}}的[[有限域]]，记作{{math|GF(''p''<sup>''n''</sup>)}}。它是有限域{{math|GF(''p'')}}（即<math>\mathbb{Z} \big/ p\mathbb{Z}</math>）的扩域。

给定域{{mvar|K}}和以{{mvar|K}}中元素为系数的{{mvar|K-}}不可约[[多项式]]{{mvar|P}}<ref group="N">这里的“多项式”指单变量多项式，下文同。</ref>，{{mvar|P}}为{{mvar|K}}上的[[多项式环]]{{mvar|K}}[{{mvar|X}}]的元素。{{mvar|P}}生成的[[理想 (环论)|理想]]是[[极大理想]]，因此{{mvar|K}}[{{mvar|X}}]{{mvar|/P}}是域，而且是{{mvar|K}}的扩域。其中不定元{{mvar|X}}是多项式{{mvar|P}}的根。

给定域{{mvar|K}}，考虑所有以{{mvar|K}}中元素为系数的[[有理函数]]，即可以表示为两个以{{mvar|K}}中元素为系数的多项式{{mvar|P}}、{{mvar|Q}}之比：{{math|{{sfrac|''P''|''Q''}}}}的函数。它们构成一个域，记作{{mvar|K}}({{mvar|X}})，是多项式环{{mvar|K}}[{{mvar|X}}]的[[分式域]]。它是域{{mvar|K}}的扩域，次数为无限大{{r|acl|page=10}}。

== 基本性质 ==
设有域扩张{{mvar|L/K}}，则扩域{{mvar|L}}与{{mvar|K}}有相同的加法和乘法单位元。加法群 ({{mvar|K}}, +) 是 ({{mvar|L}},+) 的一个子群，乘法群 ({{mvar|K}}<sup>×</sup>, ·) 是 ({{mvar|L}}<sup>×</sup>, ·) 的一个子群。因此，{{mvar|L}}与{{mvar|K}}有相同的[[特征 (代数)|特征]]。

设有域扩张{{mvar|L/K}}及某个中间域{{mvar|F}}，则域扩张{{mvar|F/K}}和{{mvar|L/F}}的次数乘积等于{{mvar|L/K}}的次数{{r|acl|gtm167|page1=10|page2=9}}：
::<math>[L : K] = [L:F] \cdot [F:K].</math>

== 代数元与超越元 ==
{{main|代数扩张}}
给定域扩张{{mvar|L/K}}，如果{{mvar|L}}中一个元素{{mvar|a}}是某个以{{mvar|K}}中元素为系数的（非零）[[多项式]]（以下简称为{{mvar|K-}}多项式）的[[根 (数学)|根]]，则称{{mvar|a}}是{{mvar|K}}上的一个'''代数元'''，否则称其为'''超越元'''{{r|acl|page=10}}。如果{{mvar|L}}中每个元素都是{{mvar|K}}上的代数元，就称域扩张{{mvar|L/K}}为'''代数扩张'''，否则称其为'''超越扩张'''{{r|acl|page=11}}。例如<math>\sqrt{2}</math>和<math>i</math>都是<math>\mathbb Q</math>上的代数元，而{{mvar|e}}与{{mvar|π}}都是<math>\mathbb Q</math>上的超越元{{r|acl|page=11}}。<math>\mathbb Q</math>上的代数元和超越元分别叫做[[代数数]]与[[超越数]]。

每个有限扩张都是代数扩张，反之则不然{{r|gtm167|page=10-11}}。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张{{mvar|L/K}}，如果{{mvar|L}}中元素要么属于{{mvar|K}}，要么是{{mvar|K}}上的超越元，则称{{mvar|L}}是{{mvar|K}}的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张，如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。

===极小多项式===
{{main|极小多项式}}
给定域扩张{{mvar|L/K}}，如果{{mvar|L}}中一个元素{{mvar|a}}是{{mvar|K}}上的代数元，那么在所有使得{{math|''f''(''a'') {{=}}}} 0的首一{{mvar|K-}}多项式{{mvar|f}}中，存在一个次数最小的，称为{{mvar|a}}在{{mvar|K}}上的'''极小多项式'''，记为{{mvar|π<sub>a</sub>}}{{r|acl|page=11-12}}。设{{mvar|π<sub>a</sub>}}为{{mvar|n}}次多项式，则中间域{{math|''K''(''a'')}}等于所有以{{mvar|a}}为不定元的{{mvar|K-}}多项式的集合。更具体地说，等于所有以{{mvar|a}}为不定元的、次数严格小于{{mvar|n}}的{{mvar|K-}}多项式的集合：{{math|''K''(''a'') {{=}} ''K''[''a''] {{=}} ''K''<sub>n-1</sub>[''a'']}}。这说明{{math|''K''(''a'')}}中任何元素{{mvar|b}}都可以写成<math>b = \lambda_1 + \lambda_2 a + \cdots + \lambda_n a^{n-1}</math>的形式。其中<math>(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n)</math>是{{mvar|n}}个{{mvar|K}}中元素。由于{{mvar|π<sub>a</sub>}}是极小多项式，所以可推出：<math>\{1, a, \cdots , a^{n-1} \}</math>是中间域{{math|''K''(''a'')}}作为{{mvar|K-}}向量空间的基。扩张{{math|''K''(''a'')}}{{mvar|/K}}的次数是{{math|[''K''(''a'') : K] {{=}} ''n''}}.

=== 可分裂域与代数闭包 ===
{{main|可分裂域|代数闭域}}
分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张，将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张{{mvar|L/K}}，称一个{{mvar|K-}}多项式{{mvar|f}}在{{mvar|L}}中'''可分裂'''，如果{{mvar|f}}可以写成：
::<math>f = \kappa (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots (X - \alpha_k), \; \kappa \in K, \; \alpha_1, \alpha_2 ,\cdots , \alpha_k \in L</math>
的形式，即{{mvar|f}}的每个根都是{{mvar|L}}中的元素{{r|gtm167|page=27-28}}。如果{{mvar|f}}在{{mvar|L}}中可分裂，但不在{{mvar|L}}的任何一个包含{{mvar|K}}的真子域中可分裂（也就是说{{mvar|L}}是令{{mvar|f}}在其中可分裂的“最小”的域扩张），就称{{mvar|L}}是{{mvar|f}}在{{mvar|K}}上的'''可分裂域'''{{r|gtm167|page=28}}。

给定域{{mvar|K}}，如果所有{{mvar|K-}}多项式在{{mvar|K}}都可分裂，则称{{mvar|K}}为'''代数闭域'''{{r|gtm167|page=30}}。给定代数扩张{{mvar|L/K}}，如果{{mvar|L}}是代数闭域，则称其为{{mvar|K}}的'''代数闭包'''，一般记作{{math|''K''<sup>alg</sup>}}{{r|gtm167|page=31}}。给定{{mvar|K}}，则它所有的代数闭包都是{{mvar|K-}}[[同构]]的<ref group="N">即两者间存在环同构{{mvar|''φ''}}，并且它限制在{{mvar|K}}上的部分是平凡的（恒等映射）。</ref>{{r|gtm167|page=35}}。

== 域扩张的自同构群 ==
除了将扩域看作基域上的[[向量空间]]外，另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的[[自同构]]群。给定域扩张{{mvar|L/K}}，{{mvar|L}}上的一个自同构{{mvar|σ}}被称为{{mvar|K-}}[[自同构]]，当且仅当{{mvar|σ}}限制在{{mvar|K}}上的部分是'''平凡'''的（即为[[恒等函数|恒等映射]]）{{r|gtm167|page=15-16}}：
::<math>\forall x \in K, \; \sigma(x) = x.</math>
所有的{{mvar|K-}}自同构组成一个群，称为域扩张的自同构群，记作{{math|Aut}}({{mvar|L/K}})。这些自同构描绘了{{mvar|K}}“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域{{mvar|L}}的域结构不变{{r|gtm167|page=15-16}}。

== 正规、可分与伽罗瓦扩张 ==
{{main|正规扩张|伽罗瓦扩张}}
伽罗瓦扩张是[[伽罗瓦理论]]中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足[[伽罗瓦理论基本定理]]，在此扩张的[[伽罗瓦群]]的[[子群]]与其中间域之间建立了[[双射|一一对应]]的关系，从而给出了中间域的清晰描述。

一般定义伽罗瓦扩张是[[正规扩张|正规]]且[[可分扩张|可分]]的域扩张{{r|gtm167|page=42}}。一个域扩张{{mvar|L/K}}称为[[正规扩张]]，如果对任何一个以{{mvar|K}}中元素为系数的不可约多项式{{mvar|P}}，只要它有一个根在{{mvar|L}}中，则它的所有根都在{{mvar|L}}中，也就是说可以分解为{{mvar|L}}上一次因式的乘积{{r|gtm167|page=36}}。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张，它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张{{mvar|L/K}}称为[[可分扩张]]，如果{{mvar|L}}中每个元素在{{mvar|K}}上的极小多项式是[[可分多项式|可分]]的，即（在 {{mvar|K}}的一个[[代数闭包]]中）没有重根{{r|gtm167|page=42}}。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出：一个域扩张{{mvar|L/K}}是伽罗瓦扩张，当且仅当它是某个以{{mvar|K}}中元素为系数的可分多项式的[[分裂域]]{{r|gtm167|page=42}}。

伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群，记作{{math|Gal}}({{mvar|L/K}})。它的阶数（群中元素个数）等于伽罗瓦扩张的次数：[{{mvar|L}}:{{mvar|K}}]{{math|{{=}} {{!}} Gal(''L/K'') {{!}}}}。[[伽罗瓦理论基本定理]]说明，当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候，给定{{math|Gal}}({{mvar|L/K}})的任一个子群{{mvar|H}}，唯一存在一个中间域{{mvar|K}}⊂{{mvar|L<sup>H</sup>}}⊂{{mvar|L}}与之对应，这个域{{mvar|L<sup>H</sup>}}恰好是{{mvar|L}}中对所有的{{mvar|H}}中的自同构固定的元素的集合{{r|gtm167|page=51}}：
::<math>L^H = \{ x ; \; \forall \sigma \in H, \; \sigma(x) = x\}</math>
这种对应关系被称作'''伽罗瓦对应'''。给定{{math|Gal}}({{mvar|L/K}})的子群{{mvar|H}}，{{mvar|L<sup>H</sup>}}被称为{{mvar|H}}的'''对应域'''。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与[[群论]]之间转化的纽带，通过研究特定群的结构，可以给出域扩张的仔细刻画。

== 相关条目 ==
* [[域论]]
* [[代数扩张]]

==注释==
{{reflist|group="N"}}

== 参考来源 ==
{{reflist|refs=
<ref name="acl">{{cite book|author=Antoine Chambert-Loir|title=A Field Guide to Algebra|url=https://archive.org/details/fieldguidetoalge0000cham|year=2005|publisher=Springer（插图版）|language = en|isbn=9780387214283}}</ref>
<ref name="gtm167">{{cite book|author=Patrick Morandi|title=Fields and Galois Theory|year=1996|publisher=Springer（插图版）|language = en|isbn=9780387947532}}</ref>
}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:域论]]
[[Category:伽罗瓦理论]]