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|1=zh-tw:海曼多項式;zh-cn:埃尔米特多项式;
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在[[数学]]中，'''埃尔米特多项式'''（Hermite polynomials）是一种经典的[[正交多项式]]族，得名于[[法国]][[数学家]][[夏尔·埃尔米特]]。[[概率论]]裡的[[埃奇沃斯级数]]的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在[[组合数学]]中，埃尔米特多项式是[[阿佩尔方程]]的解。[[物理学]]中，埃尔米特多项式给出了[[量子谐振子]]的[[本征态]]。

== 定义 ==
[[File:Hermite poly.svg|thumb|right|400px|前六个（概率论中的）埃尔米特多项式的图像。]]
埃尔米特多项式有两种常见定义。

第一种是'''概率论'''中较为常用的形式（记作：<math>H_n^\mathrm{prob}(x)</math>）：

:<math>H_n^\mathrm{prob}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!</math>

另一种是'''物理学'''中较为常用的形式（记作：<math>H_n^\mathrm{phys}(x)</math>）：

:<math>H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!</math>
物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是：
:<math>H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x).\,\!</math>

概率论中常用第一种定义，因为<math>\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}</math>是标准[[正态分布]]函数（[[数学期望]]等于0，[[标准差]]等于1）的[[概率密度函数]]。

[[File:Hermite poly phys.svg|thumb|right|400px|前六个（物理学中的）埃尔米特多项式的图像。]]

{| class="wikitable" border="1"
|+ 前六个概率学和物理学中的埃尔米特多项式
! 序号 !! 概率学 !! 物理学
|-
| <math>H_0(x)</math> || <math>1\,</math> || <math>1\,</math>
|-
| <math>H_1(x)</math> || <math>x\,</math> || <math>2x\,</math>
|-
| <math>H_2(x)</math> || <math>x^2-1\,</math>|| <math>4x^2-2\,</math>
|-
| <math>H_3(x)</math> || <math>x^3-3x\,</math> || <math>8x^3-12x\,</math>
|-
| <math>H_4(x)</math> || <math>x^4-6x^2+3\,</math> || <math>16x^4-48x^2+12\,</math>
|-
| <math>H_5(x)</math> || <math>x^5-10x^3+15x\,</math>|| <math>32x^5-160x^3+120x\,</math>

|}

== 性质 ==
多项式''H<sub>n</sub>'' 是一个''n''次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2<sup>''n''</sup>。

=== 正交性 ===
多项式''H<sub>n</sub>'' 的次数与序号''n'' 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的'''权函数''' ''w''，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
:<math>w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; （概率论）
:<math>w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\!</math>&nbsp;&nbsp; （物理学）

也就是说，当''m''&nbsp;≠ ''n'' 时：
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0</math>

除此之外，还有：
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{prob}(x) H_n^\mathrm{prob}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = n! \, \sqrt{2 \pi}\delta_{mn}</math>&nbsp;&nbsp; （概率论）
:<math>\int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{phys}(x) H_n^\mathrm{phys}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\delta_{mn}</math>&nbsp;&nbsp; （物理学）

其中<math>\delta_{mn}</math>是[[克罗内克函数]]。

从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。

=== 完备性 ===
在所有满足

:<math>\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x <\infty</math>

的函数所构成的[[完备空间]]中，埃尔米特多项式序列构成一组[[基 (線性代數)|基]]。其中的[[内积]]定义如下：

:<math>\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x</math>

=== 埃尔米特微分方程 ===
'''概率论'''中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:

:<math>(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0</math>

方程的边界条件为：<math>u</math>应在无穷远处有界。

其中<math>\lambda</math>是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取<math>\lambda</math>∈<math>\mathbb{N}</math>。对于一个特定的本征值<math>\lambda</math>，对应着一个特定的本征函数解，即<math>H_\lambda^{prob}(x)</math>。

而'''物理学'''中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:

:<math>u'' - 2xu'+2\lambda u=0</math>

其本征值同样为<math>\lambda</math>∈<math>\mathbb{N}</math>，对应的本征函数解为<math>H_\lambda^{phys}(x)</math>。

以上两个微分方程都称为'''埃尔米特方程'''。

== 參考文獻 ==
* Arfken, ''Mathematical Methods for Physicists''
* B Spain, M G Smith, ''Functions of mathematical physics'', Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
* Bayin, S.S. (2006) ''Mathematical Methods in Science and Engineering'', Wiley, Chapter 4.
* {{citation|first1=Richard|last1=Courant|first2=David|last2=Hilbert|title=Methods of Mathematical Physics, Volume I|publisher=Wiley-Interscience|year=1953}}.
*{{citation|first=Arthur|last= Erdélyi|first2= Wilhelm |last2=Magnus|first3= Fritz|last3= Oberhettinger|first4=Francesco G.|last4= Tricomi|title= Higher transcendental functions. Vol. II|publisher= McGraw-Hill|year=1955}}
*{{Springer|id=H/h046980|first=M.V.|last=Fedoryuk|year=2001}}.
*{{citation|first=Gábor|last=Szegő|title=Orthogonal Polynomials|publisher=American Mathematical Society|year=1939, 1955}}
*{{citation|title=The Fourier Integral and Certain of its Applications|last=Wiener |first=Norbert |year=1958 |publisher=Dover Publications |location=New York|isbn=0-486-60272-9}}
*{{cite book |title=A Course of Modern Analysis|last=Whittaker |first=E. T. |coauthors=Watson, G. N. |year=1962 |edition=4th Edition |publisher=Cambridge University Press |location=London}}
*Temme, Nico, ''Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics'', Wiley, New York, 1996

== 外部链接 ==
*{{MathWorld|urlname=HermitePolynomial|title=埃尔米特多项式}}

[[Category:多项式]]
[[Category:正交多项式]]