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{{NoteTA|G1=物理學}}{{量子力学}}
[[File:Paul Ehrenfest.jpg|thumb|200px|保罗·埃伦费斯特。]]

在[[量子力學]]裏，'''埃倫費斯特定理'''（{{lang|en|Ehrenfest theorem}}）表明，[[算符|量子算符]]的[[期望值 (量子力学)|期望值]]對於[[時間]]的導數，跟這量子算符與[[哈密頓算符]]的[[對易算符]]，兩者之間的關係，以方程式表達為<ref name="Smith">{{cite book | last=Smith | first=Henrik | year=1991 | title=Introduction to Quantum Mechanics | url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000smit | publisher=World Scientific Pub Co Inc |isbn=978-9810204754| pages= pp. 108–109}}</ref>
:<math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle </math>；

其中，<math>A</math> 是某個量子[[算符]]，<math>\langle A\rangle</math> 是它的[[期望值]]，<math>H</math> 是[[哈密頓算符]]，<math>t</math> 是時間，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]。

埃倫費斯特定理是因物理學家[[保羅·埃倫費斯特]]命名。在量子力學的[[海森堡繪景]]裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取[[海森堡繪景#數學細節|海森堡方程式]]的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與[[哈密頓力學]]的[[刘维尔定理 (哈密顿力学)|劉維定理]]密切相關；劉維定理使用的[[泊松括號]]，對應於埃倫費斯特定理的[[對易算符]]。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 <math>i\hbar</math> ，再取 <math>i\hbar</math> 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

== [[薛丁格繪景]]下的推導 ==
假設，一個物理系統的[[量子態]]為 <math>\Phi(x,\ t)</math> ，則算符 <math>A</math> 的期望值對於時間的導數為
:<math>\begin{align} \frac{d}{dt}\langle A\rangle & = \frac{d}{dt}\int \Phi^* A \Phi~dx \\
  & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx+ \int \Phi^* \left( \frac{\partial A}{\partial t}\right) \Phi~dx+\int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\
  & = \int \left( \frac{\partial \Phi^*}{\partial t} \right) A\Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^* A \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~dx \\  \end{align}</math>

[[薛丁格方程]]表明哈密頓算符 <math>H</math> 與時間 <math>t</math> 的關係為
:<math>H\Phi= i\hbar \frac{\partial \Phi}{\partial t}</math> 。

其[[共軛]]為
:<math>(H\Phi)^*= - i\hbar \frac{\partial \Phi^*}{\partial t}</math> 。

因為哈密頓算符是[[厄米算符]]，<math>H^*=H</math> ，所以，
:<math>(H\Phi)^*=\Phi^*H^*=\Phi^*H</math> 。

將這三個方程式代入 <math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle</math> 的方程式，則可得到
:<math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\int \Phi^* (AH-HA) \Phi~dx + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle </math> 。

所以，埃倫費斯特定理成立：
:<math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle</math> 。

有時算符 <math>A</math> 不隨時間變化，則 <math>\left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle</math> 等於零。

== 海森堡繪景下的推導 ==
[[海森堡繪景]]下的推導更為直接。有海森堡運動方程式
:<math> \frac{\partial}{\partial t}A = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar}[A, H] </math>
直接取等式兩邊的算子的期望值可得
:<math>\left\langle\Psi\left|\frac{d}{dt}A(t)\right|\Psi\right\rangle = \left\langle\Psi\left|\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\left|\frac{1}{i \hbar}[A(t),H]\right|\Psi\right\rangle </math>
等式左邊的態向量不含時，因此可以把 <math>\frac{d}{dt}</math> 一項移到狄拉克符號外，因此有
:<math>\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle = \left\langle\frac{\partial A(t)}{\partial t}\right\rangle + \frac{1}{i \hbar}\left\langle[A(t),H]\right\rangle </math>

==實例==
使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量[[顯性 (物理)|顯性]]地不含時間，則這系統是[[保守系統]]。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

===守恆的哈密頓量===
考慮哈密頓算符 <math>H</math> ：
:<math>\frac{d}{dt}\langle H\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [H,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle=\left\langle \frac{\partial H}{\partial t}\right\rangle</math> 。

假若，哈密頓量顯性地不含時間，<math>\frac{\partial H}{\partial t}=0</math> ，則
:<math>\langle H\rangle=H_0</math> ，

哈密頓量是個常數<math>H_0</math> 。

===位置的期望值對於時間的導數===
試想一個[[質量]]為 <math>m</math> 的粒子，移動於一維空間．其[[哈密頓量]]是

:<math> H(x,\ p,\ t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,\ t) </math> ;

其中，<math>x</math> 為位置，<math>p</math> 是[[動量]]，<math>V</math> 是[[位勢]]。

應用埃倫費斯特定理，
:<math>\frac{d}{dt}\langle x\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial x}{\partial t}\right\rangle= \frac{1}{i\hbar}\langle [x,\ H]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle [x,\ p^2]\rangle =\frac{1}{i2m\hbar}\langle xpp - ppx\rangle </math>。

由於 <math>xpp - ppx=i2\hbar p</math> ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：
:<math>\frac{d}{dt}\langle x\rangle =\frac{1}{m} \langle p\rangle= \langle v\rangle </math>。

這樣，可以得到動量 <math>p</math> 的期望值。

===動量的期望值對於時間的導數===
應用埃倫費斯特定理，
:<math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ H]\rangle + \left\langle \frac{\partial p}{\partial t}\right\rangle </math> 。

由於 <math>p</math> 與自己互相交換，所以，<math>[p,\ p^2]=0</math> 。又在坐標空間裏，[[動量算符]] <math>p = \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}</math> 不含時間：<math> \frac{\partial p}{\partial t} = 0</math> 。所以，
:<math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,\ V]\rangle </math> 。

將泊松括號展開，
:<math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \int \Phi^* V\frac{\partial}{\partial x}\Phi~dx - \int \Phi^*\frac{\partial}{\partial x} \left(V\Phi\right)~dx</math> 。

使用[[乘法定則]]，
:<math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = \left\langle -\ \frac{\partial}{\partial x} V\right\rangle = \langle F\rangle</math> 。

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 <math>F</math> 的期望值。

==經典極限==
取經典極限<ref name="Tannor">{{cite book | last=Tannor | first=David J. | year=2006 | title=Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective | publisher=University Science Books |isbn=978-1891389238| pages= pp. 35–38}}</ref>，<math>\left\langle \frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}</math> ，則可得到一組完全的量子運動方程式：
:<math>\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\langle v\rangle </math> ，
:<math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle= -\ \frac{\partial V(\langle x\rangle)}{\partial \langle x\rangle}</math> 。

這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式：
:<math>\frac{dx}{dt}=v</math> ，
:<math> \frac{dp}{dt}= -\ \frac{\partial V(x)}{\partial x}</math> 。

取「經典極限」，[[量子力學]]的[[定律]]約化為[[經典力學]]的定律。這結果也時常被稱為'''埃倫費斯特定理'''。這經典極限是什麼呢？標記 <math>V\,'(x)</math> 為 <math>\frac{\partial V(x)}{\partial x}</math> 。設定 <math>\langle x\rangle=x_0</math> 。[[泰勒級數|泰勒展開]] <math>V\,'(x)</math> 於 <math>x_0</math> ：
:<math>V\,'(x)=V\,'(x_0)+(x-x_0)V\,''(x_0)+\frac{1}{2}(x-x_0)^2 V\,'''(x_0)+\ \dots</math> 。

由於 <math>\langle x-x_0\rangle=0</math> ，<math>\langle (x-x_0)^2\rangle=\sigma_x^2</math> ，

:<math>\left\langle\frac{\partial V(x)}{\partial x}\right\rangle\approx V\,'(x_0)+\frac{1}{2}\ \sigma_x^2\ V\,''(x_0)</math> 。

這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關：
#一個是量子態對於位置的不可確定性。
#另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。

==參閱==
*[[維里定理]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:量子力學|A]]
[[Category:物理定理|A]]