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[[File:Pedal Triangle.svg|right|thumb|三角形 ''ABC'' 為黑色，從 ''P'' 延伸出去的三條垂線為藍色，由此得到的垂足三角形 ''LMN'' 為紅色]]

在[[幾何學]]上，'''垂足三角形'''（{{lang-en|Pedal triangle}}）是將一個點投影至[[三角形]]的邊上所得到的三角形。

具體地說，考慮一個三角形<math>ABC</math>，選定一個異於頂點<math>A, B, C</math>的點<math>P</math>。通過<math>P</math>對三角形的三邊做[[垂直線]]，將這些垂直線與<math>\overleftrightarrow{BC}, \overleftrightarrow{AC}, \overleftrightarrow{AB}</math>的交點分別命名為<math>L, M, N</math>，則三角形<math>LMN</math>是一個垂足三角形。

== 性質 ==

如果<math>ABC</math>不是[[三角形#钝角三角形|鈍角三角形]]，則其垂足三角形<math>LMN</math>的內角角度分別為<math>180^\circ-2A</math>、<math>180^\circ-2B</math>、<math>180^\circ-2C</math>。<ref>{{Cite web|title=Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world|url=https://en.wikibooks.org/wiki/Trigonometry/Circles_and_Triangles/The_Pedal_Triangle#:~:text=As%20already%20noted,%20the%20altitudes,ABC%20is%20its%20excentral%20triangle.&text=If%20ABC%20is%20not%20an,and%20its%20sides%20are%20a.|access-date=2020-10-31|website=en.wikibooks.org|archive-date=2021-08-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20210822122701/https://en.wikibooks.org/wiki/Trigonometry/Circles_and_Triangles/The_Pedal_Triangle#:~:text=As%20already%20noted,%20the%20altitudes,ABC%20is%20its%20excentral%20triangle.&text=If%20ABC%20is%20not%20an,and%20its%20sides%20are%20a.|dead-url=no}}</ref>
若<math>P</math>點位於三角形<math>ABC</math>的[[三角形#三角形的心|特殊中心]]上，則有一些特殊情況：

*若<math>P</math>是<math>ABC</math>的[[垂心]]，則<math>LMN</math>是垂心三角形（{{lang-en|Orthic triangle}}）。
*若<math>P</math>是<math>ABC</math>的[[內心]]，則<math>L, M, N</math>是<math>ABC</math>之內切圓的三個切點。
*若<math>P</math>是<math>ABC</math>的[[外心]]，則<math>LMN</math>是[[中點三角形]]。

若<math>P</math>點以三角形<math>ABC</math>為基準的[[三線坐標]]是<math>p : q : r</math>，則其垂足三角形的頂點<math>L, M, N</math>坐標為：

:<math>L = 0 : q + p\cos{C} : r + p\cos{B}</math>

:<math>M = p + q\cos{C} : 0 : r + q\cos{A}</math>

:<math>N = p + r\cos{B} : q + r\cos{A} : 0</math>

== 相關定理 ==
[[File:Pedal Line.svg|right|thumb|200px|''P'' 在外接圓上的情形，此時垂足三角形退化為一條線（紅色）]]
[[File:Carnot's theorem perpendicular.png|right|thumb|200px|卡諾定理：紅色區域與藍色區域的面積相等]]
=== 西姆松定理 ===
{{Main|西姆松定理}}
若<math>P</math>點位於<math>ABC</math>的[[外接圓]]上，則<math>L, M, N</math>共線，反之亦然。這條線被稱為'''垂足線'''（{{lang-en|Pedal line}}），又稱為'''西姆松線'''（{{lang-en|Simson line}}）。

=== 卡諾定理 ===
{{Main|卡諾定理 (垂線)}}
<math>A, B, C, L, M, N</math>六點滿足以下等式：<ref>{{Cite book|title=Challenging problems in geometry|url=https://archive.org/details/challengingprobl00posa|author1=Alfred S. Posamentier|author2=Charles T. Salkind|isbn=9780486134864|location=New York|oclc=829151719|publisher=Dover|year=1996|pages=[https://archive.org/details/challengingprobl00posa/page/n95 85]-86}}</ref>
:<math>\overline{AN}^2+\overline{BL}^2+\overline{CM}^2=\overline{NB}^2+\overline{LC}^2+\overline{MA}^2</math>

== 反垂足三角形 ==
[[File:Antipedal triangle.png|right|thumb|200px|三角形 ''ABC'' 為紅色，從 ''P'' 延伸至頂點的三條線為藍色，由此得到的反垂足三角形 ''LMN'' 為黑色]]
過<math>A</math>作一條垂直於<math>\overline{PA}</math>的直線，過<math>B</math>作一條垂直於<math>\overline{PB}</math>的直線，過<math>C</math>作一條垂直於<math>\overline{PC}</math>的直線，則這三條直線構成的三角形稱為'''反垂足三角形'''（{{lang-en|Antipedal triangle}}）。在這個反垂足三角形中，設與<math>A</math>相對的頂點為<math>A^\prime</math>，與<math>B</math>相對的頂點為<math>B^\prime</math>，與<math>C</math>相對的頂點為<math>C^\prime</math>。

<math>ABC</math>是<math>A^\prime B^\prime C^\prime</math>在<math>P</math>點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。

若<math>P</math>點以三角形<math>ABC</math>為基準的[[三線坐標]]是<math>p : q : r</math>，則反垂足三角形的頂點<math>A^\prime, B^\prime, C^\prime</math>坐標為：<ref>{{cite mathworld|title=Antipedal Triangle |urlname=AntipedalTriangle |accessdate=2021-08-22 |archive-date=2021-08-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210822122708/https://mathworld.wolfram.com/AntipedalTriangle.html |dead-url=no }}</ref>
:<math>A^\prime = -(q + p\cos{C})(r + p\cos{B}) : (r + p\cos{B})(p + q\cos{C}) : (q + p\cos{C})(p + r\cos{B})</math>

:<math>B^\prime = (r + q\cos{A})(q + p\cos{C}) : -(r + q\cos{A})(p + q\cos{C}) : (p + q\cos{C})(q + r\cos{A})</math>

:<math>C^\prime = (q + r\cos{A})(r + p\cos{B}) : (p + r\cos{B})(r + q\cos{A}) : -(p + r\cos{B})(q + r\cos{A})</math>

一個特殊的例子是，如果<math>P</math>點位於[[內心]]，則該反垂足三角形以<math>ABC</math>的三個[[旁心]]為頂點。

== 參考資料 ==
{{Reflist}}

[[Category:三角形几何]]
[[Category:幾何術語]]