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[[File:Vertical deflection.svg|缩略图|330x330像素|蓝色直线为过交点的垂线方向，红色直线为过交点的法线方向，两者间的差异即为垂线偏差]]
'''垂线偏差'''（{{Lang-en|Vertical deflection}}）指[[地球]]表面上某一点处[[铅垂线|垂线]]方向和[[法线]]方向的差异，也即[[重力异常]]矢量的方向。<ref name=":1">{{Cite book|title=Physical Geodesy|last=Sneeuw|first=Nico|publisher=Institute of Geodesy Universität Stuttgart|year=2006|isbn=|location=|pages=104-108|url=https://www.gis.uni-stuttgart.de/lehre/campus-docs/LNErdm.pdf|access-date=2020-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20200413023934/https://www.gis.uni-stuttgart.de/lehre/campus-docs/LNErdm.pdf|archive-date=2020-04-13|dead-url=yes}}</ref>垂线偏差可以表示为当地[[天文坐标]]与[[地理坐标]]之间的差异，其中前者在[[大地水准面|水准面]]上通过[[重力测量]]的方式确定，而后者是天文坐标[[投影]]到[[参考椭球面|椭球面]]上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以[[法线]]为基准。<ref name=":0">{{Cite book|title=地球形状及外部重力场|author=宁津生|publisher=测绘出版社|year=1981|isbn=|location=|pages=243-249|authorlink=宁津生|editor=管泽霖|first=}}</ref>

== 数学表达 ==
设 <math>\mathbf{P}</math> 为[[大地水准面]]上一点，其所处的[[铅垂线|垂线]]方向为 <math>\mathbf{n}</math>，通过重力测量方式测得的天文坐标为 <math>\left(\Phi, \Lambda \right)</math> 。将其沿[[参考椭球面]]的[[法线]] <math>\mathbf{n'}</math> [[投影]]至椭球面上的点 <math>\mathbf{Q}</math>，得到其地理坐标为 <math>\left(\varphi, \lambda \right)</math> 。在实际测量过程中，常以其在南北方向（即[[子午圈]]方向）上的投影 <math>\xi</math> 和其在东西方向（即[[卯酉圈]]方向）上的投影 <math>\eta</math> 描述：

:<math>\begin{cases}
\xi  = \Phi - \varphi \\
\eta = (\Lambda - \lambda) \cos{\varphi} 
\end{cases}</math>

=== 与重力异常和重力扰动的关系 ===
设 <math>\mathbf{P}</math> 点处测量得到的[[重力|真实重力矢量]]为 <math>\vec{\mathbf{g}}_P</math>，而 <math>\mathbf{Q}</math> 点处计算得到的[[正常重力|正常重力矢量]]为 <math>\vec{\mathbf{\gamma}}_Q</math>，则 <math>\mathbf{P}</math> 点处的[[重力异常|重力异常矢量]]为：<ref name=":1" />

:<math>\Delta \vec{\mathbf{g}} = \vec{\mathbf{g}}_P - \vec{\mathbf{\gamma}}_Q  </math>

又设 <math>\mathbf{P}</math> 点处测量得到的正常重力矢量为 <math>\vec{\mathbf{\gamma}}_P</math>，则 <math>\mathbf{P}</math> 点处的[[重力扰动|重力扰动矢量]]为：<ref name=":1" />

:<math>\delta \vec{\mathbf{g}} = \vec{\mathbf{g}}_P - \vec{\mathbf{\gamma}}_P  </math>

重力异常[[矢量]]和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向，因为 <math>\mathbf{P}</math>、<math>\mathbf{Q}</math> 两点的正常重力方向在同一条[[直线]]上。

=== 与大地水准面高的关系 ===
[[大地水准面高]]即为两点间的距离 <math>PQ</math> ，垂线偏差亦可表示为大地水准面高的[[泛函]]。以一过垂线的垂直面截取点 <math>\mathbf{P}</math>，垂线偏差在此平面内的分量 <math>\varepsilon</math> 与[[大地水准面高]] <math>N</math> 和[[大地水准面]]上的[[弧微分]] <math>\operatorname{d}\!s</math> 存在如下几何关系：

:<math>\tan \varepsilon = -\operatorname{d}\!N / \operatorname{d}\!s  </math>

习惯上取沿法线向下的方向为正，因此上式中的 <math>-\operatorname{d}\!N  </math> 为负值。又因垂线偏差的分量 <math>\varepsilon</math> 是微小量，即 <math>\varepsilon \rightarrow 0  </math> ，因此上式也可写成：

:<math>\varepsilon = -\operatorname{d}\!N / \operatorname{d}\!s \quad ({\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0})  </math>

再以地球平均半径 <math>R</math> 替代点 <math>\mathbf{P}</math> 在各法截面上的[[曲率半径]]，得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为

:<math>{\operatorname{d}\!s}^2 = R^2 {\operatorname{d}\!\varphi}^2 + R^2 {\cos}^2{\varphi}^2 {\operatorname{d}\!\lambda}^2  </math>

分别取垂直面分别与[[子午圈]]平行（即 <math>\operatorname{d}\!\lambda = 0  </math>）和与[[卯酉圈]]平行（即 <math>\operatorname{d}\!\varphi = 0  </math>），得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为：<ref name=":0" />

:<math>\begin{cases}
\xi  = -\frac{1}{R}{\partial N \over\partial \varphi} \\
\eta = -\frac{1}{R \cos \varphi}{\partial N \over\partial \lambda}
\end{cases}</math>

== 参见 ==

* [[法线]]
* [[铅垂线]]
* [[参考椭球面]]
* [[大地水准面]]
* [[重力异常]]
* [[重力扰动]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}{{物理大地测量学}}
[[Category:大地测量学]]