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在[[物理學]]裏，'''垂直軸定理'''（也叫“正交轴定理”）可以用來計算一片薄片的[[轉動慣量]]。思考一個[[直角座標系]]，其中兩個座標軸都包含與平行於此薄片；如果已知此薄片對於這兩個座標軸的轉動慣量，則垂直軸定則可以用來計算薄片對於第三個座標軸的轉動慣量。

假設OXYZ座標系統的 X-軸與 Y-軸都包含與平行於此薄片，而 Z-軸垂直於薄片的面。<math>I_X\,\!</math> 與 <math>I_Y\,\!</math> 分別代表薄片對於 X-軸與 Y-軸的轉動慣量．那麼，薄片對於 Z-軸的轉動慣量為
:<math>I_Z=I_X+I_Y\,\!</math> 。

垂直軸定理、[[平行軸定理]]、與[[伸展定則]]可以用來計算許多不同形狀的物體的轉動慣量。

==導引==
[[File:Thinplate01.JPG|right|frame|厚度很薄的薄片]]
任何實際存在的剛體都有厚度；不可能有零厚度的剛體。參考右圖，假設這剛體是一塊很薄的薄片，厚度 <math>t\,\!</math> 是均勻的，密度也是均勻的。設定薄片的面與 XY-面共平面。那麼，剛體對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為
:<math>I_X=\int (y^2+z^2)\;dm\,\!</math> 、
:<math>I_Y=\int (x^2+z^2)\;dm\,\!</math> 、
:<math>I_Z=\int (x^2+y^2)\;dm\,\!</math> 。

由於厚度超小於薄片的面尺寸，我們可以忽略 <math>z^2\,\!</math> 對於積分的貢獻．因此，
:<math>I_X\approx\int y^2\;dm\,\!</math> 、
:<math>I_Y\approx\int x^2\;dm\,\!</math> 。

所以，
:<math>I_Z=I_X+I_Y\,\!</math> 。

==實例==
[[File:Disk01.JPG|right|frame|薄圓盤]]
a) 如右圖，一個半徑為 <math>r\,\!</math>，質量為 <math>m\,\!</math> 的薄圓盤，對於 Z-軸的轉動慣量為
:<math>I_Z=\frac{1}{2}mr^2\,\!</math> 。

所以，對於X-軸與 Y-軸的轉動慣量是
:<math>I_X=I_Y=\frac{I_Z}{2}=\frac{1}{4}mr^2\,\!</math> 。

[[File:rectangle01.JPG|right|frame|長方形薄片]]
b) 如右圖，一個尺寸為 <math>a\times b\,\!</math>，質量為 <math>m\,\!</math> 的長方形薄片,對於 X-軸、Y-軸、與 Z-軸的轉動慣量分別為
:<math>I_X=\frac{1}{12}ma^2\,\!</math> 、
:<math>I_Y=\frac{1}{12}mb^2\,\!</math> 、
:<math>I_Z=\frac{1}{12}m(a^2+b^2)\,\!</math> 。
很明顯地，
:<math>I_Z=I_X+I_Y\,\!</math> 。

== 参考文献 ==
*{{cite book|title=中学奥林匹克竞赛物理教程.力学篇|year=2013|url=https://archive.org/details/zhongxueaolinpik0000unse|author=程稼夫|publisher=中国科技大学出版社|ISBN=978-7-312-03193-9|edition=第2版|page=[https://archive.org/details/zhongxueaolinpik0000unse/page/281 281]|language=zh-cn}}

==參閱==
* [[轉動慣量列表]]
* [[平行轴定理]]

[[Category:刚体]]
[[Category:經典力學]]
[[Category:動力學]]