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[[File:Toroidal_coordinates.png|thumb|350px|right|圖 1 ）圓環坐標系的幾個[[坐標曲面]]。紅色圓球面的 <math>\sigma=30^{\circ}</math> 。藍色環面的 <math>\tau=0.5</math> 。黃色半平面的 <math>\phi=60^{\circ}</math> 。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），[[直角坐標]]大約為 <math>(0.996,\ - 1.725,\ 1.911)</math> 。]]
[[File:Apollonian_circles.svg|thumb|right|350px|圖 2 ）雙極坐標系繪圖。紅色圓圈變成上圖的紅色圓球面（ <math>\sigma</math>-坐標曲面），而藍色圓圈則變成藍色環面（ <math>\tau</math>-坐標曲面）。]]

'''圓環坐標系'''（{{lang-en|Toroidal coordinates}}）是一種三維[[正交坐標系]]。設定二維[[橢圓坐標系]]包含於 xz-平面；兩個焦點 <math>F_{1}</math> 與 <math>F_{2}</math> 的[[直角坐標]]分別為 <math>( - a,\ 0,\ 0)</math> 與 <math>(a,\ 0,\ 0)</math> 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 <math>a</math> 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為'''焦圓'''，又稱為'''參考圓'''。

==數學定義==
在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 最常見的定義是
:<math>x = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \cos \phi</math> 、
:<math>y = a \ \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos \sigma} \sin \phi</math> 、
:<math>z = a \ \frac{\sin \sigma}{\cosh \tau - \cos \sigma}</math> ；

其中，<math>(x,\ y,\ z)</math> 是[[直角坐標]]，<math>\sigma</math> 坐標是 <math>\angle F_{1} P F_{2}</math> 的[[弧度]]，<math>\tau</math> 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 <math>d_{1}</math> 與 <math>d_{2}</math> 的比例的自然對數：
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}</math> 。

圓環坐標的值域為 <math> - \pi < \sigma\le\pi</math> ，<math>\tau\ge 0</math> ， <math>0\le\phi < 2\pi</math> 。

===坐標曲面===
每一個 <math>\sigma</math>-[[坐標曲面]]都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為
:<math>x^2+y^2+(z - a\cot\sigma)^2=\frac{a^2}{\sin^2\sigma}</math> 。

正值 <math>\sigma</math> 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 <math>\sigma</math> 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 <math>\left| \sigma \right|</math> 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，<math>\left| \sigma \right|</math> 達到最大值 <math>\pi/2</math> 。

每一個 <math>\tau</math>-[[坐標曲面]]都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為
:<math>z^{2} +\left( \sqrt{x^{2} + y^{2}} - a \coth \tau \right)^{2} = \frac{a^{2}}{\sinh^{2} \tau}</math> 。

<math>\tau=0</math> 曲線與 z-軸同軸。當 <math>\tau</math> 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

===逆變換===
[[File:Bipolar coordinates.png|thumb|right|350px|圖 3 ）點 P 的坐標 <math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的幾何詮釋。在一個方位角 <math>\phi</math> 為常數的平面裏，圓環坐標系變成雙極坐標系。<math>\overline{F_1 P}</math> 與 <math>\overline{F_2 P}</math> 的夾角 <math>\angle F_{1} P F_{2}</math> 的弧度是 <math>\sigma</math> 。<math>F_1 P</math> 與 <math>F_2 P</math> 的比例的[[自然對數]]是 <math>\tau</math> 。<math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的等值曲線都是圓圈，分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交（以洋紅色表示）。]]
<math>\tau</math> 是 <math>d_{1}</math> 與 <math>d_{2}</math> 的比例的[[自然對數]]：
:<math>\tau = \ln \frac{d_{1}}{d_{2}}</math> 。

圓環坐標 <math>(\sigma,\ \tau,\ \phi)</math> 可以用直角坐標 <math>(x,\ y,\ z)</math> 來表達。方位角 <math>\phi</math> 的公式為
:<math>\tan \phi = \frac{y}{x}</math> 。

點 P 與兩個焦點之間的距離是
:<math>d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} + a)^{2} + z^{2}</math> 、
:<math>d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2} + y^{2}} - a)^{2} + z^{2}</math> 。

如圖 3 ，<math>\angle F_1PF_2</math> 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 <math>\overline{F_1 P}</math> 與 <math>\overline{F_2 P}</math> 的夾角。這夾角的弧度是 <math>\sigma</math> 。用[[餘弦定理]]來計算：
:<math>\cos \sigma =\frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2 d_1 d_2}</math> 。

===標度因子===
圓環坐標 <math>\sigma</math> 與 <math>\tau</math> 的標度因子相等：
:<math>h_{\sigma} = h_{\tau} = \frac{a}{\cosh \tau - \cos\sigma}</math> 。

方位角的標度因子為
:<math>h_{\phi} = \frac{a \sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}</math> 。

無窮小體積元素是
:<math>dV = \frac{a^{3}\sinh \tau}{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}} d\sigma d\tau d\phi</math> 。

[[拉普拉斯算子]]是
:<math>
\nabla^{2} \Phi =
\frac{\left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau} 
\left[ 
\frac{\partial}{\partial \sigma}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right) + 
\frac{\partial}{\partial \tau}
\left( \frac{\sinh \tau}{\cosh \tau - \cos\sigma}
\frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right) + 
\frac{1}{\sinh \tau \left( \cosh \tau - \cos\sigma \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}
\right]
</math> 。

其它微分算子，像 <math>\nabla \cdot \mathbf{F}</math> 、<math>\nabla \times \mathbf{F}</math> ，都可以用 <math>(\sigma,\ \tau,\ z)</math> 坐標表示，只要將標度因子代入在[[正交坐標系]]條目內對應的一般公式。

==應用==
圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像[[拉普拉斯方程]]這類的[[偏微分方程式]]。在這些方程式裏，圓環坐標允許[[分離變數法]]的使用。個典型的例題是，有一個圓環[[導體]]，請問其周圍的[[電位]]與[[電場]]為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於[[托卡馬克]]的圓環形狀，圓環坐標時常用在[[托卡馬克]]的[[核融合]]理論研究。

==參閱==
*[[國際熱核聚變實驗反應堆]]

{{正交坐標系}}

==參考文獻==
* {{cite book | author = Arfken G | date = 1970 | title = Mathematical Methods for Physicists | edition = 2nd ed. | publisher = Academic Press | location = Orlando, FL | pages = pp. 112-115}}
* {{cite journal |last=Andrews |first=Mark |year=2006 |title=Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics |journal=Journal of Electrostatics |volume=64|pages=664-672}}

==參考目錄==
* {{cite book | author = Morse PM, Feshbach H | year = 1953 | title = Methods of Theoretical Physics, Part I | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 666}} 
* {{cite book | author = Korn GA, Korn TM |year= 1961 | title = Mathematical Handbook for Scientists and Engineers | publisher = McGraw-Hill | location = New York | pages = p. 182}}
* {{cite book | author = Margenau H, Murphy GM | year = 1956 | title = The Mathematics of Physics and Chemistry | publisher = D. van Nostrand | location = New York |pages = pp. 190–192 }}
* {{cite book | author = Moon PH, Spencer DE |year= 1988 | chapter = Toroidal Coordinates (η, θ, ψ) | title = Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions | edition = 2nd ed., 3rd revised printing | publisher = Springer Verlag | location = New York | isbn = 0-387-02732-7 | pages = pp. 112–115 (Section IV, E4Ry)}}

[[Category:坐標系|Y]]