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{{NoteTA |G1=Math}}
{{refimprove|date=2018年10月}}
'''圓判據'''（circle criterion）是[[非線性控制]]及[[穩定性理論]]中，針對非線性時變系統的[[稳定性判据]]。可以視為是針對[[线性时不变系统理论|线性时不变系统]]（LTI）的[[奈奎斯特稳定判据]]之擴展版本。

==簡介==
考慮一個線性系統，但有非線性的回授，也就是在回授路徑上有非線性元素<math>\varphi(v, t)</math>，假設此元素滿足區間條件<math>[\mu_1,\mu_2]</math>（即<math>\mu_1 v \le \varphi(v,t) \le \mu_2 v,\ \forall v,t</math>），而且（為了簡化系統）開迴路系統穩定。則閉迴路系統全域漸近穩定的條件是線性系統的尼奎斯特轨迹不會穿過以X軸上線段<math>[-1/\mu_1,-1/\mu_2]</math>為直徑的圓。

==一般敘述==
考慮[[非線性系統]]

: <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{Ax} + \mathbf{Bw},</math>
: <math>\mathbf{v} = \mathbf{Cx},</math>
: <math>\mathbf{w} = \varphi(v, t).</math>

假設

# <math>\mu_1 v \le \varphi(v,t) \le \mu_2 v,\ \forall v,t</math>
# <math>\det(i\omega I_n-A) \neq 0,\ \forall \omega \in R^{-1}\text{ and }\exists \mu_0 \in [\mu_1, \mu_2]\,:\, A+\mu_0 BC</math> is stable
# <math>\Re\left[(\mu_2 C(i\omega I_n-A)^{-1}B-1)(1-\mu_1C(i\omega I_n-A)^{-1}B)\right]<0 \ \forall \omega \in R^{-1}.</math> 

則存在<math>\exists c>0,\delta>0</math>使得針對系統的任意解，下式都成立；

:: <math>|x(t)| \le ce^{-\delta t}|x(0)|,\ \forall t \ge 0.</math>

條件3稱為「頻率條件」，條件1稱為「區間條件」。
==相關條目==
*[[波波夫判據]]
== 參考資料 ==
* {{cite book|title=Nonlinear Dynamical Systems and Control: a Lyapunov-Based Approach.|last1=Haddad|first1=Wassim M.|last2=Chellaboina|first2=VijaySekhar|date=2011|publisher=Princeton University Press|isbn=9781400841042}}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20110721081050/http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/prost/proceedings/cdc03/pdffiles/papers/FrA02.1.pdf Sufficient Conditions for Dynamical Output Feedback Stabilization via the Circle Criterion]
* [http://www-control.eng.cam.ac.uk/jmm/4f3/handout4.pdf Popov and Circle Criterion (Cam UK)]{{Wayback|url=http://www-control.eng.cam.ac.uk/jmm/4f3/handout4.pdf |date=20200331142616 }}
* [https://web.archive.org/web/20110706230818/http://control.ee.ethz.ch/~apnoco/Lectures2009/04-Popov%20and%20Circle%20Criterion.pdf Popov and Circle Criterion (ETH)]
* [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/FeedbackSector.html Stability analysis using the circle criterion in Mathematica]{{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/FeedbackSector.html |date=20140320042711 }}
[[Category:稳定性理论]]
[[Category:非線性控制]]