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在[[几何学]]中，'''圓內接四邊形的日本定理'''指出，[[圆内接四边形]]内某些[[三角形]]的[[内切圆|内心]]形成一个[[矩形]]。

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的[[内切圆|内心]]形成一个矩形。

具体而言，设{{Math|□''ABCD''}}为任意圆内接四边形， {{Math|''M''{{sub|1}}}}, {{Math|''M''{{sub|2}}}}, {{Math|''M''{{sub|3}}}}, {{Math|''M''{{sub|4}}}}分别为三角形{{Math|△''ABD''}}, {{Math|△''ABC''}}, {{Math|△''BCD''}}, {{Math|△''ACD''}}内心，则{{Math|''M''{{sub|1}}}}, {{Math|''M''{{sub|2}}}}, {{Math|''M''{{sub|3}}}}, {{Math|''M''{{sub|4}}}}所构成的四边形为矩形。

== 证明1 ==
[[File:Japanese_theorem_2.svg|right|thumb|300x300px|{{Math|□''M''{{sub|1}}''M''{{sub|2}}''M''{{sub|3}}''M''{{sub|4}}}}是矩形。]]
<math>\left|\sphericalangle ABD\right| = \left|\sphericalangle ACD\right|</math>

（以下称为<math>\alpha</math>角），因为这两个角都是弦<math> \overline {AD} </math>的周角。

因为

<math>\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_1D\right| &= 180^\circ -\frac{\left|\sphericalangle BAD\right| +\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}\\
&= 180^\circ - \frac{180^\circ - \left|\sphericalangle ABD\right|}{2} \\&= 90^\circ + \frac{\left|\alpha\right|}{2}
\end{aligned}</math>

由此可得，

<math>\left|\sphericalangle AM_1D\right| =\left|\sphericalangle AM_4D\right| = 90^\circ + \frac{\left|\alpha\right|}{2}</math>

由于这些角相等，<math>\square AM_1M_4D</math>是一个[[圆内接四边形]]。

根据[[圆内接四边形]]的性质，现在有<math>\left|\sphericalangle M_1M_4D\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right|</math>

同样地，对于<math>\square DCM_4M_3</math>也成立：

<math>\left|\sphericalangle DM_4M_3\right| = 180^\circ - \left|\sphericalangle M_3CD \right|</math>

角度相加，得到以下结果

<math>\left|\sphericalangle M_1M_4D\right| + \left|\sphericalangle DM_4M_3\right| = 360^\circ - \left|\sphericalangle DAM_1\right| - \left|\sphericalangle M_3CD\right|=360^\circ - \frac{\left|\sphericalangle DAB\right| + \left|\sphericalangle BCD\right|}{2} = 360^\circ - \frac{180^\circ}{2} = \underline{\underline{270^\circ}}</math>

由于

<math>\sphericalangle M_1M_4M_3 = 270^\circ</math>

所以

<math>\sphericalangle M_3M_4M_1 = 90^\circ</math>

以上对于点<math>M_1,M_2,M_3,M_4</math>之间的其他角度也同样成立，它们都是<math>90^\circ</math>。

因此，<math>\square M_1M_2M_3M_4</math>是一个矩形。证毕。<ref>{{Cite web|url=https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Geometrie:_Planimetrie:_Kreis:_Japanischer_Satz_f%C3%BCr_konzyklische_Vierecke|title=证明 – 圆内接四边形的日本定理|language=de|script-title=Beweisarchiv – Japanischer Satz für konzyklische Vierecke|website=Wikibooks|access-date=2024-06-18|archive-date=2024-06-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20240618202028/https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Geometrie:_Planimetrie:_Kreis:_Japanischer_Satz_f%C3%BCr_konzyklische_Vierecke|dead-url=no}}</ref>

== 证明2 ==

根据[[泰博定理|Thébault定理(3)]]有如下结论<ref>Wilfred Reyes: [http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200223.pdf ''An Application of Thebault's Theorem''] {{Wayback|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200223.pdf |date=20181024080332 }}. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185</ref>：
{{Math theorem
| math_statement = [[File:Thébault's_Theorem_III.svg|thumb|right|Thébault定理(3)]]給定任意三角形<math>ABC</math>，<math>BC</math>上任意一點<math>M</math>。作兩個圓，均與<math>AM</math>、<math>BC</math>、外接圓相切。該兩圓的圓心<math>P</math>、<math>Q</math>和三角形內心<math>I</math>三点共线共線，且
:<math>\frac{P I}{I Q}=\tan^2 \frac\theta2</math>
其中<math>\theta=\angle AMB</math>.
}}
下面开始处理原题。

先标记题目中四个三角形的[[内切圆|内心]]是<math>I_a</math>、<math>I_b</math>、<math>I_c</math>、<math>I_d</math>.

假设对角线 ''AC'' 和 ''BD'' 交于 ''E''.

与线段 ''AE''、''BE'' 及外接圆相切的圆的圆心记为<math>O_{cd}</math>，

类似地，与线段 ''BE''、''CE'' 及外接圆相切的圆的圆心记为<math>O_{da}</math>、与线段 ''CE''、''DE'' 及外接圆相切的圆的圆心记为<math>O_{ab}</math>、与线段 ''DE''、''AE'' 及外接圆相切的圆的圆心记为<math>O_{bc}</math>.

设 ''AE''、''BE'' 的夹角是<math>\theta</math>，根据上面的[[泰博定理|Thébault定理(3)]]有如下结论：

<math>O_{da}</math>、<math>I_d</math>、<math>O_{cd}</math>三点共线，且
:<math>\frac{O_{c d} I_d}{I_d O_{d a}}=\tan^2 \frac\theta2</math>
同理，<math>O_{ab}</math>、<math>I_a</math>、<math>O_{da}</math>三点共线，且
:<math>\frac{O_{a b} I_a}{I_a O_{d a}}=\tan^2 \frac\theta2</math>
所以，
:<math>I_a I_d /\!/ O_{a b} O_{c d}</math>
由于 <math>O_{c d} O_{a b}\perp O_{d a} O_{b c}</math> (因为它们沿着角 <math>E</math> 的角平分线)，所以 <math>I_a I_d\perp I_d I_c</math>，所以 <math>I_aI_bI_cI_d</math> 是矩形。证毕。

== 推广 ==

过<math>M_1,M_2,M_3,M_4</math>作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是「与各对角线相切的内切圆半径之和相等」。

该定理可推广到[[圓內接多邊形的日本定理]]。

证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

== 又见 ==

* [[卡諾定理 (內切圓、外接圓)|卡诺定理]]
* [[算額]]
* [[和算|日本数学]]

== 参考 ==
{{reflist}}
* Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: [https://web.archive.org/web/20070208105128/http://www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.2/mangho999.ps ''In Search of the Japanese Theorem''] (postscript file)
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml#explanation Incenters in Cyclic Quadrilateral] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQuadrilateral.shtml#explanation |date=20101230051433 }} at Cut-the-Knot
* Wataru Uegaki: [http://hdl.handle.net/10076/4917 "{{Nihongo2|Japanese Theoremの起源と歴史}}"] {{Wayback|url=http://hdl.handle.net/10076/4917 |date=20140115091140 }} (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
* {{Cite web|author=笹部貞市郎|title=几何学辞典: 问题解法|url=https://archive.org/details/20240618_20240618_1431/page/119/mode/1up|website=[[Archive.org]]|at=第587题}}
* {{Cite book|title=走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解(上)|last=沈文选|isbn=9787560324418|pages=405|url=https://archive.org/download/chudengshuxue3/%5B%E8%B5%B0%E5%90%91%E5%9B%BD%E9%99%85%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%A5%A5%E6%9E%97%E5%8C%B9%E5%85%8B%E7%9A%84%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E8%AF%95%E9%A2%98%E8%AF%A0%E9%87%8A%EF%BC%9A%E5%8E%86%E5%B1%8A%E5%85%A8%E5%9B%BD%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%81%94%E8%B5%9B%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95%E8%AF%95%E9%A2%98%E4%B8%80%E9%A2%98%E5%A4%9A%E8%A7%A3%28%E4%B8%8A%29%5D.%E6%B2%88%E6%96%87%E9%80%89.pdf|accessdate=2024-06-19|chapter=第 14 章 1992~1993 年度试题的诠释, 第 1 节 圆内接四边形四顶点组成的四个三角形问题, 命题 6(3)}}

== 外部链接 ==

* [https://www.gogeometry.com/geometry/sangaku_cyclic_quadrilateral.htm gogeometry.com] {{Wayback|url=https://www.gogeometry.com/geometry/sangaku_cyclic_quadrilateral.htm |date=20240618153946 }}

[[Category:和算]]
[[Category:平面幾何]]
[[Category:含有日語的條目]]