查看“︁圆幂定理”︁的源代码


'''圓冪定理'''（{{lang-en|circle power theorem}}），是[[平面幾何]]中的一個[[定理]]。這定理指出，給定一個[[圓]] {{math|''Γ''}} 以及一點 {{math|''P''}}，從該點引出兩條[[割線]]，分別與 {{math|''Γ''}} 相交於 {{math|''A''}}、{{math|''B''}} 以及 {{math|''C''}}、{{math|''D''}}，則有

:<math>\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PC} \cdot \overline{PD}</math>

這個乘積，是 {{math|''P''}} 對於  {{math|''Γ''}}  的'''圓冪'''（{{lang-en|circle power}}），故定理以此為名。

==圓冪定義==
[[File:Power point simple.svg|thumb|250px|right|在圖中，{{math|''O''}} 是圓心，{{math|1= ''OA'' = ''OT''}} 是半徑 {{math|''r''}}（藍色），{{math|''OP''}} 是點到圓心的距離 {{math|''s''}}（橙色），{{math|''PT''}} 是切線（紅色），{{math|''PMN''}} 是割線（黑色）。]]

平面上任意一點 {{math|''P''}} ，以及半徑為 {{math|''r''}} 、圓心為 {{math|''O''}} 的圓，則定義'''圓冪''' {{math|''h''}} 為：

:<math>h=OP^2-r^2</math>。<ref>Weisstein, Eric W. ''Circle Power.'' From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/CirclePower.html |date=20200318232032 }}</ref>

從這個定義可知，若 {{math|''P''}} 在圓內，則圓冪為負數；若 {{math|''P''}} 在圓外，則圓冪為正數；若 {{math|''P''}} 在圓周上，則有圓冪等於零。

圓冪又可等價地定義為：從該點穿過圓心的割線，與圓所作的兩個交點，與該點距離的乘積。也就是說：

:<math>h=\overline{PA} \cdot \overline{PB}</math> 。

理由如下：

:<math>\overline{PA} \cdot \overline{PB} = (s-r)(s+r)=s^2-r^2=h</math>。

==變體==

圓冪定理有三個變體，分別是「相交弦定理」、「割線定理」及「切割線定理」。<ref>{{citation|last=Coxeter|first=H. S. M.|title=''Introduction to Geometry''|edition= (2nd Edition)|place= New York|publisher= Wiley|year=1969}}</ref>

===相交弦定理===
[[File:Chord_2.svg|thumb|200px|right|在圖中，圓心為 {{math|''O''}}，圓上有兩弦 {{math|''AB''}} 及 {{math|''CD''}}，相交於 {{math|''E''}}]]

設有一圓，圓上有兩條弦 {{math|''AB''}} 及 {{math|''CD''}}，它們相交於 {{math|''E''}}，則有
:<math>\overline{EA} \cdot \overline{EB} = \overline{EC} \cdot \overline{ED}</math>

這個乘積，是 {{math|''E''}} 的圓冪的[[相反數]] {{math|−''h''}}。這是因為圓冪為非正數，而線段的乘積為正數。

===割線定理===
設有一圓，圓外有一點 {{math|''P''}}，引出兩條[[割線]]，分別與圓相交於 {{math|''A''}}、{{math|''B''}} 以及 {{math|''M''}}、{{math|''N''}}，則有
:<math>\overline{PA} \cdot \overline{PB} = \overline{PM} \cdot \overline{PN}</math>

這個乘積，是 {{math|''P''}} 的圓冪 {{math|''h''}}。

===切割線定理===
設有一圓，圓外有一點 {{math|''P''}}，引出一條[[割線]]，與圓相交於 {{math|''A''}}、{{math|''B''}} ，又引出一條[[切線]]，與圓相切於 {{math|''T''}}，則有
:<math>\overline{PA} \cdot \overline{PB} = {\overline{PT}}^2</math> 

這個乘積，同樣是 {{math|''P''}} 的圓冪 {{math|''h''}}。

==證明==
===相交弦定理===
從同[[弓形]]內[[圓周角]]的性質可知，{{math|Δ''AED''}} 與 {{math|Δ''CEB''}} 是[[相似三角形]]，因此

:<math>\frac{EA}{EC} = \frac{ED}{EB}</math>

整理可得

:<math>EA \cdot EB = EC \cdot ED</math>

證明完畢。

===割線定理===
從同弓形內圓周角的性質可知，{{math|Δ''PAM''}} 與 {{math|Δ''PNB''}} 是相似三角形，因此

:<math>\frac{PA}{PM} = \frac{PN}{PB}</math>

整理可得

:<math>PA \cdot PB = PM \cdot PN</math>

證明完畢。

===切割線定理===

從內錯弓形圓周角的性質可知，{{math|Δ''PAT''}} 與 {{math|Δ''PTB''}} 是相似三角形，因此

:<math>\frac{PA}{PT} = \frac{PT}{PB}</math>

整理可得

:<math>PA \cdot PB = {PT}^2</math>

證明完畢。

== 參見 ==
*{{鏈解|根軸}}

==參考資料==
{{reflist}}
[[Category:幾何定理]]
[[Category:圓]]