查看“︁圆外切梯形”︁的源代码

{{Expand language|1=en|time=2024-09-11T16:15:47+00:00}}
[[File:Tangential trapezoid.svg|thumb|right|300px|{{PAGENAME}}]]
在[[欧几里得几何]]中，'''{{PAGENAME}}'''（{{lang-en|Tangential trapezoid}}，也称为'''切线梯形'''）是指存在[[内切圆]]的[[梯形]]，或者说有一对边[[平行]]的[[圆外切四边形]]<ref>R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5</ref>。存在'''圆外切等腰梯形'''和'''圆外切直角梯形'''等子类型。[[菱形]]、[[正方形]]也可以看成是是特殊的{{PAGENAME}}。

[[File:Pitot theorem.svg|thumb|right|upright=1.1|[[皮托定理]]：<br><math>\begin{align}&|AB| + |CD|\\ =&(a+b)+(c+d)\\=&(b+c)+(a+d)\\=&|BC| + |DA| \end{align}</math>]]
==周长==
根据[[皮托定理]]：[[圆外切四边形]]对边和相等，可得到{{PAGENAME}}的两腰长和与两底长和相等，则[[周长]] {{mvar|P}} 为<ref name=AoPS/>
:<math>\displaystyle P=2(a+b)=2(c+d)</math>
其中{{mvar|a, b}}分别为梯形的上下底长，{{mvar|c, d}}为两腰长。

另外，半周长为<math>s=a+b=c+d</math>，中位线为<math>m=(a+b)/2=(c+d)/2</math>。

==面积==
将上述由[[皮托定理]]得出的半周长<math>\displaystyle s=a+b=c+d</math>代入[[梯形]]的半周长面积公式<math>S = \frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}</math>，得到{{PAGENAME}}的面积S为<ref name=Lieber>H. Lieber and F. von Lühmann, ''Trigonometrische Aufgaben'', Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.</ref>：
:<math>S=\frac{a+b}{|b-a|}\sqrt{ab(a-c)(c-b)}</math>
其中a、b为两底长，c为任意一腰长。

由于{{PAGENAME}}的高与内切圆[[直径]]相等，则由[[中位线]]面积公式可得：

:<math>S = mh = mD = 2mr = (a+b)r = (c+d)r</math>

此外，设四条不同点出发的切线长为{{mvar|e, f, g, h}}，则面积为<ref name=Josefsson>{{citation
|last=Josefsson |first=Martin
|journal=Forum Geometricorum
|pages=119–130
|title=Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
|volume=10
|year=2010}}.</ref>{{rp|p.129}}：
:<math>S=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h)=s\sqrt[4]{efgh}</math>

==内切圆半径==
由四边形[[内切圆]]半径公式<math>r=\frac{S}{s}</math>，和上述两个面积公式得到：

:<math>r=\frac{\sqrt{ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}</math>

:<math>r=\sqrt[4]{efgh}</math>

更一般的，若{{mvar|e, f, g, h}}中，{{mvar|e, h}}、{{mvar|f, g}}分别是同一腰上的切线长，则根据梯形高与腰构成的直角三角形的[[勾股定理]]<math>(e+h)^2-(e-h)^2=4r^2=(f+g)^2-(f-g)^2</math>得到<ref name=J2>{{citation
|last=Josefsson |first=Martin
|journal=Forum Geometricorum
|pages=381–385
|title=The diagonal point triangle revisited
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201435.pdf
|volume=14
|year=2014}}.</ref>：

:<math>r=\sqrt{eh}=\sqrt{fg}</math>

由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。

==圆外切直角梯形==
[[File:Right tangential trapezoid 001.svg|thumb|right|250px|底角为直角的{{PAGENAME}}]]
'''圆外切直角梯形'''（{{lang-en|right tangential trapezoid}}）是指底角为[[直角]]的{{PAGENAME}}，设其上下底长分别为{{mvar|a, b}}，则由[[皮托定理]]得出斜腰长<math>c=a+b-h=a+b-2r</math>，由斜腰三角形[[勾股定理]]<math>(a+b-2r)^2=(2r)^2+(b-a)^2</math>可得到内切圆半径为<ref name="AoPS">{{Cite web|title=Math Message Boards FAQ & Community Help {{!}} AoPS|url=https://artofproblemsolving.com/community/h399084|access-date=2022-02-10|website=artofproblemsolving.com}}</ref>：
:<math>r=\frac{ab}{a+b}</math>
内切圆的[[直径]]与梯形的高相等，为上下底的[[调和平均数]]，暨<math>D=h=\frac{2ab}{a+b}</math>

将上式代入梯形的[[面积]]公式<math>S = \frac{1}{2}(a + b)h</math>，可得出面积为两底长之积<ref name=AoPS/>：

:<math>\displaystyle S=ab</math>

同时，将上式代入斜腰三角形勾股定理<math>c^2=(2r)^2+(b-a)^2</math>，可得到<math>c^2=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a+b)^2}</math>。

==圆外切等腰梯形==
[[File:Bicentric isosceles trapezoid 001.svg|thumb|right|250px|两腰相等的{{PAGENAME}}一定是[[双心四边形]]]]
'''圆外切等腰梯形'''（{{lang-en|isosceles tangential trapezoid}}）是指两腰相等的{{PAGENAME}}，由于[[等腰梯形]]是一种[[圆内接四边形]]，因此圆外切等腰梯形同时拥有内切圆和[[外接圓]]，暨圆外切等腰梯形属于一类[[双心四边形]]，因此也称为'''双心梯形'''（{{lang-en|bicentric trapezoid}}）。

设两底长为{{mvar|a, b}}，由[[皮托定理]]得出腰长为上下底的[[算术平均数]]，暨<math>c=(a+b)/2</math>，通过[[勾股定理]]<math>((a+b)/2)^2=(2r)^2+((a-b)/2)^2</math>可得到内切圆半径为<ref>{{Cite web|title=Inscribed Circle and Trapezoid {{!}} Mathematical Association of America|url=https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/inscribed-circle-and-trapezoid|access-date=2022-02-10|website=www.maa.org}}</ref>：
:<math>r=\tfrac{1}{2}\sqrt{ab}</math>

内切圆的[[直径]]与梯形的高相等，为上下底的[[几何平均数]]，暨<math>D=h=\sqrt{ab}</math>

因此，圆外切等腰梯形也可以作为[[均值不等式]]中，算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是[[日本]][[算額]]中的常见问题。

将半径代入圆外切四边形面积公式<math>r=\frac{S}{s}</math>，可以得到圆外切等腰梯形的面积为<ref>Abhijit Guha, ''CAT Mathematics'', PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.</ref>：
:<math>S=\tfrac{1}{2}\sqrt{ab}(a+b)</math>

另外，由[[均值不等式]]中，几何平均数大于调和平均数可知，在两底长{{mvar|a, b}}相同的情况下，圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。

更一般的，在所有由相同{{mvar|a, b}}所构成的{{PAGENAME}}中，圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨{{mvar|e, f, g, h}}中，{{mvar|e, h}}、{{mvar|f, g}}分别是同一腰上的切线长，<math>e+f=a</math>，<math>g+h=b</math>，<math>r^2=\sqrt{efgh}\le\tfrac{ab}{4}</math>，当且仅当e=f，g=h时取等于号，此时两腰相等。

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:四邊形]]