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在[[概率论]]与[[方向统计学]]中，'''圆均匀分布'''（{{lang-en|circular uniform distribution}}）是[[单位圆]]上均匀的概率分布。

== 描述 ==
圆均匀分布的[[機率密度函數|概率密度函数]]是：

<math>f_{CU}(\theta)=\frac 1{2\pi}</math>

用圆变量<math>z=e^{i\theta}</math>来表示，圆均匀分布的n（n>0）阶圆矩<math>\langle z^n\rangle</math>都为0。

== 平均值的分布 ==
从一个圆均匀分布取得的<math>N</math>个测量值<math>z_n=e^{i\theta_n}</math>的样本平均为：

: <math>
\overline{z} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N z_n = \overline{C}+i\overline{S} = \overline{R}e^{i\overline{\theta}}
</math>

其中<ref>"Transmit beamforming for radar applications using circularly tapered random arrays - IEEE Conference Publication". ieeexplore.ieee.org. Retrieved 22 April 2018.</ref>

: <math>
\overline{C}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \cos(\theta_n)\qquad\qquad\overline{S}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \sin(\theta_n)
</math>

平均长度

: <math>
\overline{R}^2=|\overline{z}|^2=\overline{C}^2+\overline{S}^2
</math>

平均角度

: <math>
\overline{\theta}=\mathrm{Arg}(\overline{z}). \,
</math>

圆均匀分布的样本平均的取值集中在0的附近，随着N增大而更加集中。均匀分布的样本平均的分布为<ref>Jammalamadaka, S. Rao; Sengupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics. World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-02-3778-3.</ref>：

: <math>
\frac{1}{(2\pi)^N}\int_\Gamma \prod_{n=1}^N d\theta_n = P(\overline{R})P(\overline{\theta})\,d\overline{R}\,d\overline{\theta}
</math>

其中<math>\Gamma</math>是<math>[0,2\pi)^N</math>的使得<math>\overline{R}</math>与<math>\bar\theta</math>为常数的子空间。角度分布<math>P(\bar\theta)</math>是均匀的

: <math>
P(\overline{\theta})=\frac{1}{2\pi}
</math>

<math>\bar R</math>的分布为：

: <math>
P_N(\overline{R})=N^2\overline{R}\int_0^\infty J_0(N\overline{R}\,t)J_0(t)^Nt\,dt
</math>

[[File:CircUniformDistOfMean.svg|缩略图|360x360像素|圆均匀分布的样本平均的分布（N=3），[[蒙地卡羅方法|蒙特卡洛模拟]]，1万点。]]
其中<math>J_0</math>是0阶[[贝塞尔函数]]。上面的积分没有已知的解析解，也很难作近似估计，因为被积函数有大量震荡。

对于某些特殊情况，上面的积分式可以求出来，例如N=2：

<math>P_2(\bar R)=\frac 2{\pi\sqrt{1-\bar R^2}}</math>当N很大时，平均值的分布可以由方向统计学的中心极限定理确定。由于角度是均匀分布的，每个角的正弦和余弦服从分布：

<math>P(u)du=\frac1\pi\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}</math>其中<math>u=\cos\theta_n\,</math>或<math>\sin\theta_n\,</math>。由此可得平均值为0，均值为1/2。根据中心极限定理，在大N极限下，<math>\bar C</math>与<math>\bar S</math>作为大量[[独立同分布]]的随机变量的和，近似于均值为0方差为1/2N的正态分布。

== 熵 ==
均匀分布的微分[[熵 (信息论)|熵]]就是

: <math>H_U=-\int_\Gamma \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1}{2\pi}\right)\,d\theta = \ln(2\pi)</math>

其中<math>\Gamma</math>是长度为<math>2\pi</math>的区间。这是圆分布的熵的最大值。

== 参考文献 ==
<references />
[[Category:连续分布]]
[[Category:方向统计学]]