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在數學中，'''嘉當矩陣'''是由法國數學家[[埃利·嘉當]]引入的一類特別矩陣，最大的應用在於[[李代數]]的分類理論。在有限維代數的[[表示理論]]中，嘉當矩陣另有其它意義。

==李代數== 
所謂'''廣義嘉當矩陣'''是具有下述性質的方陣 <math>A=(a_{ij})</math>：
# 各項皆為整數：<math>\forall i,j, \; a_{ij} \in \mathbb{Z}</math>。
# 對角線上的項等於二：<math>\forall i, \; a_{ii}=2</math>。
# 非對角線項非正：<math>i \neq j \Rightarrow a_{ij} \leq 0</math>
# <math>\forall i,j,\; a_{ij}=0 \Leftrightarrow a_{ji}=0</math>。
# 存在正對角方陣 <math>D</math> 使 <math>A</math> 可以寫成 <math>D S D^{-1}</math>，其中 <math>S</math> 是對稱方陣。

第四個條件可由第一及第五個條件導出。在第五個條件中，若可取 <math>S</math> 為正定，則稱 <math>A</math> 為'''嘉當矩陣'''。

若兩個嘉當矩陣差一個[[排列矩陣]]的共軛：<math>A' = P^{-1} A P</math>，則稱兩者'''同構'''。若一嘉當矩陣同構於[[分塊矩陣|分塊對角]]的嘉當矩陣，則稱之為'''可化'''的，反之則稱為'''不可化'''。

由半單李代數可以得到[[根系 (数学)|根系]]，對應的廣義嘉當矩陣定義為
:<math>a_{ij}={2 (r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}</math>
其中 <math>r_i</math> 是選定的單根。單李代數對應於不可化嘉當矩陣。

不可化嘉當矩陣可透過連通[[丹金圖]]分類。具體方式是取 <math>n</math> 個頂點（n 為嘉當矩陣 <math>A</math> 的階數），將頂點 <math>i,j</math> 以 <math>a_{ij} \cdot a_{ji}</math> 條邊相連。定義每個頂點的權 <math>w_i</math> 使得 <math>w_j/w_i = a_{ij}/a_{ji}</math>，若兩個相鄰頂點 <math>i,j</math> 的權不同，則規定邊從權大者指向小者。這套模式類似於從根系定義丹金圖的手法。

==有限維代數的表示理論==
對於域 <math>F</math> 上的有限維結合代數 <math>A</math>，考慮不可約、<math>F</math>-有限維左 <math>A</math>-模 <math>N_1, \ldots, N_n</math>，對每個 <math>1 \leq i \leq n</math>，存在唯一的不可分解左[[射影模]] <math>P_i</math> （至多差一個同構），使得 <math>\mathrm{Hom}(P_i,N_i) \neq \{0\}</math>。取 <math>c_{ij}</math> 為 <math>N_j</math> 在 <math>P_i</math> 的[[合成列]]中作為合成因子的重數。方陣 <math>C := (c_{ij})</math> 稱為 <math>A</math> 的嘉當矩陣。

==參考資料==
* {{springer|id=C/c020530|author=V.L. Popov|title=Cartan matrix}}

[[Category:矩陣|J]]
[[Category:李代數|J]]
[[Category:表示论|J]]