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{{李群|Semi-simple}}
在[[数学]]中，'''嘉当子代数'''（Cartan subalgebra，缩写为 '''CSA'''），是一个[[李代數|李代数]] <math>\mathfrak{g}</math> 的自正规化（如果 <math>[X,Y] \in \mathfrak{h}</math> 对所有 <math>X \in \mathfrak{h}</math>，那么<math>Y \in \mathfrak{h}</math>）、幂零子代数，通常用 <math>\mathfrak{h}</math> 表示。

== 存在性和唯一性 ==
当基域是无限域时，有限维李代数的嘉当子代数总是存在的。如果基域是[[代數閉域|代数闭]]的且[[特征 (代数)|特征]]为零，那么对给定的有限维李代数，所有嘉当子代数通过李代数的[[自同构]]都是共轭的，因此也是同构的。

== 半单李代数的嘉当子代数 ==
对基域是代数闭的且特征为零的[[半單李代數|半单李代数]]，它的嘉当子代数是交换的并有下面的性质：<math>\mathfrak{g}</math> 的伴随表示限定到 <math>\mathfrak{h}</math> 上是 <math>\mathfrak{g}</math> 的一个对角化表示，并且特征值为零的特征空间正是 <math>\mathfrak{h}</math> 。非零的[[权（表示论）|权]]称为根，对应的特征空间称为[[根空间]]；所有的根空间都是一维的。

== 例子 ==

* 任何幂零李代数是它自己的嘉当子代数。
* [[方块矩阵|''n''×''n'' 矩阵]] 李代数的嘉当子代数是所有对角阵形成的子代数。
* [[迹]]为0的二阶矩阵李代数<math>\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})</math>有两个不共轭的嘉当子代数。

== 参考文献 ==

* {{Citation|last=Borel|first=Armand|title=Linear algebraic groups|year=1991|author-link=Armand Borel|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|volume=126|edition=2nd|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-0-387-97370-8|mr=1102012}}
* {{Citation|last=Jacobson|first=Nathan|title=Lie algebras|year=1979|author-link=Nathan Jacobson|place=New York|publisher=[[Dover Publications]]|isbn=978-0-486-63832-4|mr=559927}}
* {{Citation|last=Humphreys|first=James E.|title=Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|year=1972|place=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-0-387-90053-7}}
* {{Springer}}
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