嘉当子代数

Template:No footnotes Template:李群 在数学中，嘉当子代数（Cartan subalgebra，缩写为 CSA），是一个李代数 $𝔤$ 的自正规化（如果 $[X,Y]\in 𝔥$ 对所有 $X\in 𝔥$，那么$Y\in 𝔥$）、幂零子代数，通常用 $𝔥$ 表示。

存在性和唯一性

当基域是无限域时，有限维李代数的嘉当子代数总是存在的。如果基域是代数闭的且特征为零，那么对给定的有限维李代数，所有嘉当子代数通过李代数的自同构都是共轭的，因此也是同构的。

半单李代数的嘉当子代数

对基域是代数闭的且特征为零的半单李代数，它的嘉当子代数是交换的并有下面的性质：$𝔤$ 的伴随表示限定到 $𝔥$ 上是 $𝔤$ 的一个对角化表示，并且特征值为零的特征空间正是 $𝔥$ 。非零的权称为根，对应的特征空间称为根空间；所有的根空间都是一维的。

例子

• 任何幂零李代数是它自己的嘉当子代数。
• n×n 矩阵 李代数的嘉当子代数是所有对角阵形成的子代数。
• 迹为0的二阶矩阵李代数${𝔰𝔩}_2(ℝ)$有两个不共轭的嘉当子代数。

参考文献

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