查看“︁單位矩陣”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}
{{Other uses|subject = [[主對角線]]元素為1、其餘元素為0的矩陣|other =所有元素皆為1的[[矩陣]] |一矩陣}}
在[[線性代數]]中，<math>n</math>階'''單位矩陣'''，是一個<math>n \times n</math>的[[方形矩陣]]，其[[主對角線]]元素為1，其餘元素為0。單位矩陣以<math>I_n</math>表示；如果階數可忽略，或可由前後文確定的話，也可簡記為<math>I</math><ref group="註">在部分領域中，如[[量子力學]]，單位矩陣是以粗體字的'''1'''表示，否則無法與'''I'''作區別。</ref>（或者<math>E</math>）。

:<math>
I_1 = \begin{bmatrix}
1 \end{bmatrix}
,\ 
I_2 = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{bmatrix}
,\ 
I_3 = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
,\ \cdots ,\ 
I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}
</math>

一些數學書籍使用<math>U</math>和<math>E</math>（分別意為單位矩陣（''unit matrix''）和基本矩陣（''Einheitsmatrix''）），不過<math>I</math>更加普遍。

特別是單位矩陣作為所有<math>n</math>階矩陣的[[环 (代数)|環]]的單位，以及作為由所有<math>n</math>階[[可逆矩陣]]構成的[[一般線性群]]<math>GL(n)</math>的[[單位元]]（單位矩陣明顯可逆，單位矩陣乘自己，仍是單位矩陣）。

這些<math>n</math>階矩陣經常表示來自<math>n</math>維向量空間自己的[[線性變換]]，<math>I_n</math>表示[[恆等函數]]，而不理會[[基 (線性代數)|基]]。

有時使用這個記法簡潔的描述[[對角線矩陣]]，寫作：
:<math> I_n = \operatorname{diag}(1,1,...,1) </math>

也可以[[克羅內克爾δ]]記法寫作：
:<math>(I_n)_{ij} = \delta_{ij}</math>

==性质==

根據[[矩陣乘法]]的定義，單位矩陣<math>I_n</math>的重要性質為：
:<math>AI_n = A</math>且<math>I_nB = B</math>

单位矩阵的[[特征值]]皆为1，任何向量都是单位矩阵的[[特征向量]]。<ref>{{cite book|author=Gilbert Strang|title=Introduction to Linear Algebra|year=2009|isbn=0980232716|pages=283|url=http://math.mit.edu/linearalgebra/|edition=第四版|accessdate=2014-11-24|archive-date=2014-11-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20141123132900/http://math.mit.edu/linearalgebra/|dead-url=no}}</ref>具有[[重數]] <math>n</math>。因为特征值之积等于[[行列式]]，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于[[迹数]]，单位矩阵的迹为<math>n</math>。
==注释==
<references group="註" />

==参考资料==
{{reflist}}

[[Category:线性代数|D]]
[[Category:矩陣|D]]
[[Category:一]]