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'''Jordan–Wigner''' 变换可用于将[[自旋]][[算符]]映射到[[费米子]]的[[产生和湮灭算符]]。一维[[晶格模型]]由 [[Pascual Jordan]] 与 [[Eugene Wigner]] 提出，当前亦得到二维模型的类似变换。 通过把自旋算符变换为费米子的产生湮灭算符，继而在费米子基矢中作对角化，Jordan–Wigner 变换经常用于精确求解 1D 自旋链，例如[[伊辛模型]]和 [[XY 模型]]。

此变换证明一维空间至少在有些情况下， 自旋-1/2 粒子与费米子不可区别。

==自旋与费米子类比==

接下来证明如何从一维自旋-1/2粒子构成的自旋链映射到费米子.

将[[自旋-1/2泡利算符]]作用到1D链的上的第j个晶座，<math>\sigma_{j}^{+}, \sigma_{j}^{-}, \sigma_{j}^{z}</math>. 选取 [[反对易算符]] <math>\sigma_{j}^{+}</math> and <math>\sigma_{j}^{-}</math>, 可以发现 <math>\{\sigma_{j}^{+},\sigma_{j}^{-}\} = 1</math>, 这些可从费米子的产生湮灭算符中得到。我们可以尝试， 
:<math>\sigma_{j}^{+} = (\sigma_{j}^{x}+i\sigma_{j}^{y})/2 = f_j^{\dagger}</math>
:<math>\sigma_{j}^{-} = (\sigma_{j}^{x}-i\sigma_{j}^{y})/2 = f_j</math>
:<math>\sigma_{j}^{z} = 2f_j^{\dagger}f_j - 1.</math>

这样，可以得到同晶格上费米子关系 <math>\{f_{j}^{\dagger}, f_{j}\}=1</math>, 但对不同的晶格，有关系 <math>[f_{j}^{\dagger},f_{k}] = 0</math>, 其中 <math>j \neq k</math>, 如此不同晶格上的自旋的对易关系不同于反对易的费米子。人们必须弥补这个问题。

==Jordan–Wigner 变换==

能够恢复从自旋算符到真正费米子对易关系的变换于1928由 Jordan 和 Wigner 提出<ref>P. Jordan and E. Wigner, ''Über das Paulische Äquivalenzverbot'', Zeitschrift für Physik 47, No. 9. (1928), pp. 631-651.</ref>。此为 [[Klein 变换]]的特殊情况。考虑费米子链，定义一组新算符

:<math>a_{j}^{\dagger} = e^{+i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k} f^{\dagger}_j</math>
:<math>a_{j} = e^{-i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k} f_j</math>
:<math>a_j^{\dagger} a_j - \frac{1}{2} = f^{\dagger}_j f_j - \frac{1}{2}.</math>

与之前的定义相差一个相 <math>e^{\pm i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k}</math>。此相与场模 <math>k=1,\ldots,j-1</math> 下占据的费米子数有关。如果占有模数为偶，此相等于 <math>+1</math>； 占有模数为奇，相为 <math>-1</math>。表示为

:<math>e^{\pm i\pi \sum_{k=1}^{j-1}f^{\dagger}_k f_k}=\prod_{k=1}^{j-1}e^{\pm i\pi f^{\dagger}_k f_k}=\prod_{k=1}^{j-1}(1-2f^{\dagger}_k f_k).</math>

最后一个等式使用了 <math>f^{\dagger}_k f_k=0, 1.</math>

这样，变换后的自旋算符具有正确的费米子对易关系

:<math>\{a_i^\dagger, a_j\}=\delta_{i,j},\{a_i^\dagger, a_j^\dagger\}=0, \{a_i, a_j\}=0.</math>
 
逆变换为

:<math>a^{\dagger}_j = e^{+i\pi \sum_{k=1}^{j-1}a^{\dagger}_k a_k} \sigma_j^+</math>
:<math>a_j = e^{-i\pi \sum_{k=1}^{j-1}a^{\dagger}_k a_k} \sigma_j^-</math>
:<math>a^\dagger_j a_j = \sigma_j^z+\frac{1}{2}.</math>

== 另见 ==
* [[Klein transformation]]
* [[S-duality]]
* Michael Nielsen: [http://michaelnielsen.org/blog/archive/notes/fermions_and_jordan_wigner.pdf Notes on Jordan-Wigner Transformation]{{Wayback|url=http://michaelnielsen.org/blog/archive/notes/fermions_and_jordan_wigner.pdf |date=20191103083720 }}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:凝聚体物理学]]
[[Category:统计力学]]
[[Category:量子场论]]