查看“︁啁啾質量”︁的源代码

{{noteTA
|G1 = 物理學
}}
在[[天文物理學]]裡，一個緻密[[雙星系統]]的'''啁啾質量'''（chirp mass）定義為<ref name="cf1994">{{cite journal |title=Gravitational waves from merging compact binaries: How accurately can one extract the binary's parameters from the inspiral waveform? |first1=Curt |last1=Cutler |first2=Éanna E. |last2=Flanagan |journal=Physical Review D |volume=49 |issue=6 |pages=2658–2697 |year=1994 |doi=10.1103/PhysRevD.49.2658 |arxiv=gr-qc/9402014 |bibcode=1994PhRvD..49.2658C}}</ref><ref name=Blanchet1995>{{cite journal |author1=L. Blanchet |author2=T. Damour |author3=B. R. Iyer |author4=C. M. Will |author5=A. G. Wiseman |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=74 |issue=3515 |year=1995 |title=Gravitational-Radiation Damping of Compact Binary Systems to Second Post-Newtonian order |doi=10.1103/PhysRevLett.74.3515 |pmid=10058225 |arxiv=gr-qc/9501027 |bibcode=1995PhRvL..74.3515B |pages=3515–3518 |url=http://cds.cern.ch/record/275578 |type=Submitted manuscript |access-date=2018-12-20 |archive-date=2021-04-27 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210427113209/http://cds.cern.ch/record/275578 |dead-url=no }}</ref><ref name=Blanchet1996>{{cite journal|author1=L. Blanchet |author2=B. R. Iyer |author3=C. M. Will |author4=A. G. Wiseman |journal=Classical and Quantum Gravity|volume=13|issue=575|year=1996|doi=10.1088/0264-9381/13/4/002|arxiv=gr-qc/9602024|title=Gravitational waveforms from inspiralling compact binaries to second-post-Newtonian order|bibcode = 1996CQGra..13..575B |pages=575–584}}</ref>

:<math>\mathcal{M}=\frac{(m_1 m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}</math>；

其中，<math>\mathcal{M}</math>是啁啾質量，<math>m_1</math>與<math>m_2</math>是兩個星體的質量。

啁啾質量決定了雙星系統因發射[[引力波]]失去[[能量]]而形成的{{le|前階|leading order}}軌道演化現象。由於引力波的頻率與軌道頻率有關，啁啾質量決定了雙星系統在旋近階段所發射出的引力波的頻率演化。在引力波數據分析裡，計算啁啾質量比計算兩個星體的個別質量簡單很多。

==定義==
給定雙星系統的質量分別為<math>m_1</math>與<math>m_2</math>，此系統的啁啾質量為<ref name="cf1994"/><ref name=Blanchet1995/><ref name=Blanchet1996/>
:<math>\mathcal{M}=\frac{(m_1 m_2)^{3/5}}{(m_1+m_2)^{1/5}}</math>。

啁啾質量也可以用其它常見質量參數來表示：
:<math>\mathcal{M} = \mu^{3/5} M^{2/5} </math>、	
:<math>\mathcal{M} = \left[\frac{q}{(1+q)^2} \right]^{3/5} M </math>、
:<math>\mathcal{M} = \eta^{3/5} M </math>；

其中，<math>M = m_1 + m_2</math>是總質量，<math>\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}</math>是[[約化質量]]，<math>q = m_1/m_2</math>是質量比，<math>\eta = \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}</math>是對稱質量比。

==軌道演化==
在[[廣義相對論]]裡，雙星系統的軌道[[相位]]演化可以用[[後牛頓力學近似方法]]來計算。該方法使用軌道速度<math>v/c</math>為微擾項來進行展開。一階引力波頻率演化為<ref name="cf1994"/>{{rp|15}}
:<math>\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{96}{5}\pi^{8/3}\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^{3}}\right)^{5/3}f^{11/3}</math>；

其中， <math>f</math>是頻率，<math>c</math>是光速，<math>G</math>是[[萬有引力常數]]。

假設能夠測量到引力波信號的頻率與頻率的一階導數，則可估算出啁啾質量：<ref name="a+2018">{{cite journal |title=Properties of the Binary Black Hole Merger GW150914 |first1=B. P. |last1=Abbott |journal=Physical Review Letters |year=2016 |volume= 116 |issue=24 |pages=241102 |doi=10.1103/PhysRevLett.116.241102 |pmid=27367378 |bibcode=2016PhRvL.116x1102A | arxiv=1602.03840}}</ref><ref name="a+2016">{{cite journal |title=Properties of the binary neutron star merger GW170817 |first1=B. P. |last1=Abbott |journal= |year=2018 |volume= |issue= |pages= |doi= |bibcode=2018arXiv180511579T | arxiv=1805.11579}}</ref>{{NoteTag|重寫方程式（{{EquationRef|1}}）為<ref name=cqg>{{cite journal |title=Reconstruction of chirp mass in searches for gravitational wave transients |first1=Vaibhav |last1=Tiwari |first2=Sergei |last2=Klimenko |first3=Valentin |last3=Necula |first4=Guenakh |last4=Mitselmakher |journal=Classical and Quantum Gravity |volume=33 |issue=1 |pages=01LT01 |doi=10.1088/0264-9381/33/1/01LT01 |date=January 2016 |bibcode=2016CQGra..33aLT01T |arxiv=1510.02426 }}</ref> 
:{{NumBlk|:|<math>\dot{f}=\frac{96}{5}\pi^{8/3}\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^{3}}\right)^{5/3}f^{11/3}</math>。|{{EquationRef|2}}}}
將方程式（{{EquationRef|2}}）對於時間做積分，則可得到{{r|cqg}}
:{{NumBlk|:|<math>\frac{96}{5}\pi^{8/3}\left(\frac{G\mathcal{M}}{c^{3}}\right)^{5/3}t+\frac{3}{8}f^{-8/3}+C=0</math>；|{{EquationRef|3}}}}

其中，<math>C</math>是積分常數。

然後，設定<math>x\equiv t</math>、<math>y \equiv \frac{3}{8}f^{-8/3}</math>，則可對多個數據點(x, y)做直線[[曲線擬合|擬和]]，從直線的[[斜率]]計算出啁啾質量, }}

{{NumBlk|::|<math>\mathcal{M}=\frac{c^{3}}{G}\left(\frac{5}{96}\pi^{-8/3}f^{-11/3}\dot{f}\right)^{3/5}</math>|{{EquationRef|1}}}}

若要明確知道每個涉及星體的獨自質量，則必須找出後牛頓展開的更高階項。<ref name="cf1994"/>

== 參閱 ==
* [[廣義相對論中的克卜勒問題]]

== 註釋 ==
{{NoteFoot}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
{{引力波}}
[[Category:聯星|-]]
[[Category:引力波天文學]]