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[[數學]]上，一個[[局部可積函數]]的'''哈代－李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數'''在一點的值，是所有以該點為中心的[[球 (數學)|球]]上函數的[[平均值]]的[[上確界]]。

==定義==
對一個在<math>\mathbb R^n</math>上定義的[[局部可積函數]]''f''，可定義其'''哈代－李特爾伍德極大函數'''''Mf''如下

::<math>Mf(x)=\sup_{r>0} \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y)</math>

（''Mf''(''x'')可能是<math>\infty</math>。） 其中''m''是<math>\mathbb R^n</math>上的[[勒貝格測度]]。

==性質==
''Mf''(''x'')是[[半連續|下半連續函數]]。
===證明===
對任何<math>x\in \mathbb R^m</math>，可假設''Mf''(''x'') > 0。（否則幾乎處處''f''=0）

任意取0 < ''c'' < ''Mf''(''x'')。從''Mf''定義知存在''r'' > 0使得
::<math>c_1:=\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) > c</math>
存在<math>\delta >0</math>使得<math>(r/(r+\delta))^n > c/c_1</math>。
對任何<math>x'\in B(x,\delta)</math>，有<math>B(x,r)\subset B(x',r+\delta)</math>
所以
::<math>\begin{align}
& Mf(x')\\
&\geq\frac 1 {m(B(x',r+\delta))}\int_{B(x',r+\delta)}|f(y)|dm(y) \\
&\geq \frac 1 {m(B(x',r+\delta))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&= \frac 1 {m(B(x',r))} \left(\frac r {r+\delta}\right)^n\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&= \frac 1 {m(B(x,r))} \left(\frac r {r+\delta}\right)^n\int_{B(x,r)}|f(y)|dm(y) \\
&> c_1 \cdot \frac c {c_1} = c
\end{align}
 </math>
因此''Mf''是下半連續。
==哈代－李特爾伍德極大不等式==
設<math>f\in\mathrm L^1(\mathbb R^n)</math>為[[可積函數]]，對任何常數<math>c>0</math>，有不等式
::<math>m(\{Mf>c\})\leq \frac{3^n\|f\|_{\mathrm L^1}}{c}</math>
===證明===
對每個在集合<math>\{Mf > c\}</math>內的點''x''，都有<math>r_x>0</math>，使得
::<math>\frac 1 {m(B(x,r_x))}\int_{B(x,r_x)}|f(y)|dm(y) > c</math>

設''K''為<math>\{Mf > c\}</math>內的[[緊集]]。[[開集|開]][[球 (數學)|球]]<math>(B(x,r_x))_{x\in K}</math>是''K''的一個[[開覆蓋]]。因''K''緊緻，存在有限子覆蓋<math>(B(x_i,r_i))_{i=1}^N</math>。（<math>r_i:=r_{x_i}</math>）

用[[維塔利覆蓋引理]]，這有限子覆蓋中存在子集<math>(B(x_{i_j},r_{i_j}))_{i_j}</math>，當中的開球[[不交集|兩兩不交]]，而且將這些開球的半徑增至三倍後<math>B(x_{i_j},3r_{i_j})</math>可以覆蓋''K''。於是
::<math>\begin{align}
m(K) &\leq \sum_{i_j} m(B(x_{i_j},3r_{i_j}))\\
&=\sum_{i_j} 3^n m(B(x_{i_j},r_{i_j})) \\
&<\sum_{i_j} \frac {3^n} c \int_{B(x_{i_j},r_{i_j})}|f(y)|dm(y)\\
&\leq  \frac {3^n} c\int_K |f(y)|dm(y)\\
&\leq  \frac {3^n \|f\|_{\mathrm L^1}}{c}
\end{align}
</math>
上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的[[內正則測度|內正則性]]，集合<math>\{Mf > c\}</math>的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有
::<math>m(\{Mf > c\})=\sup_K m(K)\leq  \frac {3^n \|f\|_{\mathrm L^1}}{c}</math>
==應用==
哈代－李特爾伍德極大不等式可以用來證明[[勒貝格微分定理]]。

==參考==
*Rudin, Walter (1987), ''Real and complex analysis'', International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.

[[Category:實分析|H]]
[[Category:泛函分析|H]]