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在[[數學]]上，'''哈代—拉馬努金定理'''是由[[拉馬努金]]證明、由[[戈弗雷·哈羅德·哈代|哈代]]檢驗的公式。<ref>{{harvs|txt|last1=Hardy|first1=G. H. |authorlink1=G. H.  Hardy|last2=Ramanujan|first2=Srinivasa|authorlink2=Srinivasa Ramanujan|year=1917}}</ref>公式斷言，若<math>\omega(n)</math>是正整數<math>n</math>彼此相異的質因數個數，那麼其{{link-en|算術函數的正常階|normal order of an arithmetic function|正常階}}為<math>\log{\log{(n)}}</math>。

換句話說，絕大多數的正整數相異的質因數個數大略為<math>\log{\log{(n)}}</math>。

==精確描述==
一個更精確的敘述是，若<math>\psi(n)</math>是任意實數函數，且在<math>n</math>趨近於無限時會趨近於無限的話，那麼以下關係式對[[幾乎所有]]的整數成立（也就是例外的比例無限小）：

:<math>|\omega(n)-\log\log n|<\psi(n)\sqrt{\log\log n}</math>

更傳統的關係式如下：
:<math>|\omega(n)-\log\log n|<{(\log\log n)}^{\frac12 +\varepsilon}</math> 

換句話說，若<math>g(x)</math>是不大於<math>x</math>且是上式例外的正整數<math>n</math>的個數的話，那麼在<math>x</math>趨近於無限時，<math>g(x)/x</math>趨近於零。

==歷史==
[[圖蘭·帕爾]]在1934年找到了上式的簡單證明，他用[[圖蘭篩法]]證明了下式：（{{harvtxt|Turán|1934}}）

:<math>\sum_{n \le x} | \omega(n) - \log\log x|^2 \ll x \log\log x \ . </math>

==推廣==
若將<math>\omega(n)</math>換成<math>\Omega(n)</math>，即正整數<math>n</math>質因數總數、將重複質因數[[重複度|重複計算]]，類似的結果仍然成立。

另外，這定理後來被推廣為{{link-en|艾狄胥—卡滋定理|Erdős–Kac theorem}}；而艾狄胥—卡滋定理指出<math>\omega(n)</math>的數值基本呈現[[正態分布]]。

==參考資料==
{{Reflist}}
*{{citation|first=G. H.|last=Hardy|authorlink=G. H. Hardy|first2=S.|last2=Ramanujan|authorlink2=Srinivasa Ramanujan|title=The normal number of prime factors of a number ''n''|journal=Quarterly Journal of Mathematics|volume=48|year=1917|pages=76–92|url=http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm|jfm=46.0262.03|accessdate=2023-11-06|archive-date=2013-05-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20130521074123/http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/CamUnivCpapers/Cpaper35/page1.htm|dead-url=no}}
* {{citation | last1=Kuo | first1=Wentang | last2=Liu | first2=Yu-Ru | chapter=The Erdős–Kac theorem and its generalizations | pages=209–216 | editor1-last=De Koninck | editor1-first=Jean-Marie | editor1-link=Jean-Marie De Koninck | editor2-last=Granville | editor2-first=Andrew | editor2-link=Andrew Granville | editor3-last=Luca | editor3-first=Florian | title=Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=CRM Proceedings and Lecture Notes | volume=46 | year=2008 | isbn=978-0-8218-4406-9 | zbl=1187.11024 }}
* {{citation | last=Turán | first=Pál | authorlink=圖蘭·帕爾 | title=On a theorem of Hardy and Ramanujan | journal=Journal of the London Mathematical Society | volume=9 | issue=4 | pages=274–276 | year=1934 | issn=0024-6107 | zbl=0010.10401 | doi = 10.1112/jlms/s1-9.4.274 }}
*{{eom|title=Hardy-Ramanujan theorem|first=A.|last= Hildebrand}}

{{DEFAULTSORT:Hardy-Ramanujan theorem}}
[[Category:解析數論定理]]
[[Category:素數定理]]