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{{noteTA
|G1=math
|1=zh-hans:回归; zh-tw:迴歸
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'''向量自我迴歸模型'''（{{Lang-en|'''V'''ector '''A'''uto'''r'''egression model}}，简称'''VAR模型'''）是一种常用的计量经济模型，由[[计量经济学]]家和[[宏观经济学]]家[[克里斯托弗·西姆斯]]（{{Lang-en|Christopher Sims}}）提出。它擴充了只能使用一個變量的[[自我迴歸模型]]（簡稱：AR模型），使容納大於1個變量，因此經常用在多變量[[時間序列 (經濟學)|時間序列模型]]的分析上。

==定义==
VAR模型描述在同一样本期间内的''n''个[[变量]]（内生变量）可以作为它们过去值的[[线性]]函数。

一个'''''VAR(p)'''''模型可以写成为：

:<math>y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + \cdots + A_{p}y_{t-p} + e_{t},</math>

其中：''c''是''n'' × ''1''常数[[向量]]，''A<sub>i</sub>''是''n'' × ''n''[[矩阵]]。e''<sub>t</sub>''是''n'' × ''1''误差向量，满足：

#<math>\mathrm{E}(e_{t}) = 0\,</math> —误差项的[[期望值|均值]]为0
#<math>\mathrm{E}(e_{t}e_{t}') = \Omega\,</math> —误差项的[[协方差]]矩阵为Ω（一个''n'' × 'n''半正定矩阵）
#<math>\mathrm{E}(e_{t}e_{t-k}') = 0\,</math> （对于所有不为0的''k''都满足）—误差项不存在[[自我相关]]

==例子==
一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为：
:<math>\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2} \\ A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{1,t} \\ e_{2,t}\end{bmatrix},</math>

或者也可以写为以下的方程组：
:<math>y_{1,t} = c_{1} + A_{1,1}y_{1,t-1} + A_{1,2}y_{2,t-1} + e_{1,t}\,</math>
:<math>y_{2,t} = c_{2} + A_{2,1}y_{1,t-1} + A_{2,2}y_{2,t-1} + e_{2,t}.\,</math>

==转换AR(p)为VAR(1) ==
AR(p)模型常常可以被改写为''VAR(1)''模型。
比如''AR(2)''模型：
:<math>y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + e_{t}</math>
可以转换成一个''VAR(1)''模型：
::<math>\begin{bmatrix}y_{t} \\ y_{t-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1}&A_{2} \\ I&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{t} \\ 0\end{bmatrix},</math>
其中''I''是[[单位矩阵]]。

==结构与简化形式==
===結構向量自我迴歸===
一个结构向量自我迴歸（Structural VAR）模型可以写成为： 

:<math>B_{0}y_{t}=c_{0} + B_{1}y_{t-1} + B_{2}y_{t-2} + \cdots + B_{p}y_{t-p} + \epsilon_{t},</math>
其中：''c<sub>0</sub>''是''n'' × ''1''常数[[向量]]，''B<sub>i</sub>''是''n'' × ''n''[[矩阵]]，ε''<sub>t</sub>''是''n'' × ''1''误差向量。 

一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为：

:<math>\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2} \\ B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{0;1} \\ c_{0;2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2} \\ B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\epsilon_{1,t} \\ \epsilon_{2,t}\end{bmatrix},</math>

其中：
:<math>\Sigma = \mathrm{E}(\epsilon_{t}\epsilon_{t}') = \begin{bmatrix}\sigma_{1}&0 \\ 0&\sigma_{2}\end{bmatrix};</math>

===简化向量自我迴歸===
把结构向量自我迴歸与''B<sub>0</sub>''的[[逆矩阵]]相乘：
:<math>y_{t} = B_{0}^{-1}c_{0} + B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1} + B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2} + \cdots + B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p} + B_{0}^{-1}\epsilon_{t},</math>

让：
:<math>B_{0}^{-1}c_{0} = c,</math>   <math>B_{0}^{-1}B_{i} = A_{i}</math> 对于 <math>i = 1, \cdots, p\,</math> 和 <math>B_{0}^{-1}\epsilon_{t} = e_{t}</math>

我们得到p-阶简化向量自我迴歸（Reduced VAR）：
:<math>y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + \cdots + A_{p}y_{t-p} + e_{t}</math>

==相關條目==
*[[自我迴歸模型]]（AR模型）
*[[ARMA模型|自我迴歸滑動平均模型]]（ARMA模型）
*[[ARIMA模型|差分自我迴歸滑動平均模型]]（ARIMA模型）
*[[格蘭傑因果關係]]（Granger Causality）



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[[Category:迴歸分析]]
[[Category:时间序列]]