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== 定义 ==
=== 一般定义 ===
'''向量組的秩'''即為向量組中的任一[[最大線性無關組]]所含有的向量個數.
=== 维数定义 ===
在向量空间<math>\R</math><sup>n</sup>中任意向量组构成的集合<math>\{X_1,X_2,...,X_r\}</math>（可能是无限的），那么该与该向量组'''对应'''的向量子空间<math><X_1,X_2,...,X_r></math>的维数<math>r</math>≤<math>n</math>那么这个<math>n</math>就叫该向量组的秩.
==== 举例 ====
舉例來說，設有一向量組<math>S: \{a_1, a_2, ..., a_m \}</math>，若存在''r''個向量<math>a_1, a_2, ... , a_r \in S</math>，且''r''個向量為向量組<math>S</math>的'''最大線性無關組'''，則此最大線性無關組的向量個數''r''，即為向量組<math>S</math>的秩.

假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为<math>c_1, c_2, \cdots, c_n</math>，于是能找到r个线性无关的列向量，使得等式<math>x_1 c_{i_1} + x_2 c_{i_2} + \cdots + x_r c_{i_r} = 0</math>只有零解.另一方面，可知此[[线性方程组]]只有零解当且仅当它的行向量组的秩<math>\ge r</math>.于是能在此线性方程组的'''系数矩阵'''中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量''缩短''得到的.给这些行向量增加若干个[[分量]]，我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然<math>\ge</math>列秩.同样可证矩阵A的列秩<math>\ge</math>行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.

[[category:線性代數|X]]