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'''向量算子'''是指[[向量分析]]中使用的[[微分算子]]。向量算子使用[[Nabla算符]]定义，包括[[梯度]]、[[散度]]和[[旋度]]。
:<math> \operatorname{grad} \equiv \nabla </math>
:<math> \operatorname{div} \ \equiv \nabla \cdot </math>
:<math> \operatorname{curl} \equiv \nabla \times </math>

[[拉普拉斯算符]]表示为：
:<math> \nabla^2 \equiv \operatorname{div}\ \operatorname{grad} \equiv \nabla \cdot \nabla </math>

向量算子必须写在它们所运算的[[标量场]]或[[向量场]]的左侧，例如：
:<math> \nabla f </math>
得到''f''的梯度，但是
:<math> f \nabla </math>
是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。

一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。
{{TOC limit}}

==三維空間中的純量函數與向量函數==
===純量函數===
令 <math>U</math> 為空間位置 <math>(x, y, z)</math> 的{{link-en|多變數函數|Function_of_several_real_variables|多變數純量函數}} ，例如：
:<math>U(x,y,z) = x^2 + y^2+z^2 = r^2</math>
表示了一個球面，這是一個[[标量场]]，其中每點的值等於該球半徑的平方。
===向量函數===
令 <math>V</math> 為空間位置 <math>(x, y, z)</math> 的[[向量函數]] ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式：
:<math>V(x,y,z)=V_x(x,y,z)\hat{i}+V_y(x,y,z)\hat{j}+V_z(x,y,z)\hat{k}</math>

==梯度與Nabla算子的定義==
{{main|梯度}}
純量函數 <math>U(x, y, z)</math> 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率：
:<math>\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z}</math>
因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式：
:<math>\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i}, \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j}, \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}</math>
其加總即為 <math>U</math> 的組合變率：
:<math>\frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}</math>
如同[[微分算子]] <math>D</math> 被用來表示某函數的導數，例如 <math>D(f)</math> 或 <math>Df</math>，我們使用 <math> \nabla </math> 來表示組合變率：
:<math>\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k}= V(x,y,z)</math>
其中 <math>V</math> 為一向量函數。組合變率 <math>\nabla U</math> 稱為 <math>U</math> 的導數（derivative），<math>U</math> 則稱為 <math>\nabla U</math> 的本原（primitive）。

<math>\nabla U</math> 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 <math>U</math> 的梯度、或斜率。

===Nabla算子的單獨使用===
{{main|Nabla算子}}
我們可以把 <math>\nabla</math> 當作一個函數，唸為 <math>del</math>，記為 <math>\operatorname{grad}</math>，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為：
:<math>\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}</math>，因此：
:<math>\nabla U = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)(U) = \frac{\partial U}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial U}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\hat{k} = \operatorname{grad} U</math>
將 <math>\nabla</math> 當作一個形式上的向量，則可以用[[向量]]的[[內積]]與[[叉積]]導出[[散度]]與[[旋度]]。

==散度：Nabla算子與向量函數的內積==
{{main|散度}}
將 <math>\nabla</math> 當作一個形式向量，與向量函數 <math>V</math> 做內積：
:<math>\nabla \cdot V = \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\cdot \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right)=\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z} = U(x,y,z)</math>
這裡得到一個純量函數 <math>U</math>，稱為 <math>V</math> 的[[散度]]。

我們也可以將 <math>\nabla \cdot</math> 當作一個算子，唸為 <math>del\ dot</math>，記為 <math>\operatorname{div}</math>，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數：
:<math>\nabla \cdot V = \operatorname{div} V
= \hat{i}\cdot\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\cdot\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\cdot\frac{\partial V}{\partial z}</math>

==旋度：Nabla算子與向量函數的叉積==
{{main|旋度}}
將 <math>\nabla</math> 當作一個形式向量，與向量函數 <math>V</math> 做叉積：
:<math>\begin{align}
\nabla \times V 
&= \left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right)\times \left(V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}\right) \\
&= 
\hat{i} \left( \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \right) +
\hat{j} \left( \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \right) +
\hat{k} \left( \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \right) =
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
V_x & V_y & V_z
\end{vmatrix}
\end{align}
</math>
這裡得到一個向量函數，稱為 <math>V</math> 的[[旋度]]。

我們也可以將 <math>\nabla \times</math> 當作一個算子，唸為 <math>del\ cross</math>，記為 <math>\operatorname{curl}</math>，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數：
:<math>\nabla \times V = \operatorname{curl} V
= \hat{i}\times\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j}\times\frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\times\frac{\partial V}{\partial z}</math>

==拉普拉斯算子==
{{main|拉普拉斯算子}}
對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度：
:<math>\nabla \cdot \nabla = 
\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) \cdot
\left(\frac{\partial}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial}{\partial z}\hat{k}\right) = 
\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}
</math>
這稱為[[拉普拉斯算子]]，記為 <math>\nabla^2</math> 或者 <math>\Delta</math>，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。

==参见==
* [[Nabla算符]]
* [[达朗贝尔算符]]
* ''Vector Analysis'', Gibbs and Wilson, [https://archive.org/stream/117714283#page/136/mode/2up p.136], [https://archive.org/stream/117714283#page/152/mode/2up p.152], [https://archive.org/stream/117714283#page/158/mode/2up p.158]

==延伸阅读==
* H. M. Schey (1996) ''Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus'', ISBN 0-393-96997-5.


[[Category:向量分析]]