查看“︁向量空间”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
{{线性代数}}
[[File:Vector space illust.svg|right|thumb|向量空間是可以縮放和相加的（叫做[[向量]]的）對象的[[集合 (数学)|集合]]]]
'''向量空間'''是一群可'''縮放'''和'''相加的'''數學實體（如[[實數]]甚至是[[函数]]）所構成的特殊[[集合 (数学)|集合]]，其特殊之處在於縮放和相加後'''仍屬於這個集合'''。這些數學實體被稱為[[向量]]，而向量空間正是[[線性代數]]的主要研究对象。

== 正式定義 ==
給定[[域 (數學)|域]] <math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 和某[[集合 (数学)|集合]] <math>V</math> ，它們具有了以下兩種[[运算]]（[[函数]]）：<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=ch. 1, p. 27}}</ref>

* '''向量加法''' <math>\oplus:V \times V \to V</math> （其中 <math>\oplus(u,\,v)</math> 慣例上簡記為 <math>u \oplus v</math> ）
* '''标量乘法''' <math>\cdot :K \times V \to V</math> （其中 <math>\cdot\,(a,\,v)</math> 慣例上簡記為 <math>a \cdot v</math> 甚至是  <math>a v</math>  ）

且這兩種運算滿足：（'''特別注意''' <math>+</math> 和 <math>\times</math> 是[[域 (數學)|域]] <math>K</math> 是本身具有的加法和乘法）

{|class="wikitable"
|-
! colspan="2" |名稱
!前提條件|| 內容
|- style="background:#F8F4FF;"
| rowspan="4" |向量加法
| rowspan="2" | 的[[单位元]]與[[逆元素]]
| rowspan="2" |存在 <math>V</math> 的元素 <math>e \in V</math> 對所有 <math>u \in V</math> 
|有  <math>e \oplus u = u \oplus e = u</math> 
|- style="background:#F8F4FF;"
| 且存在 <math>w \in V</math> 使得 <math>w \oplus u = u \oplus w = e</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
| 的[[结合律]]
|對所有 <math>u,\,v,\,w \in V</math>|| <math>u \oplus (v \oplus w)
= (u \oplus v) \oplus w</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
| 的[[交换律]]
|對所有 <math>u,\,v \in V</math>|| <math>u \oplus v=v \oplus u</math>
|- style="background:#ffffe0"
| rowspan="4" |标量乘法
| 的[[单位元]]
|對所有 <math>u \in V</math>
|若 <math>1_K \in K</math> 是 <math>K</math> 的[[域 (数学)#正式定义|乘法单位元]]，則 <math>1_K \cdot u = u</math>
|- style="background:#ffffe0"
| 对向量加法的[[分配律]]
|對所有 <math>u,\,v \in V</math> 和所有 <math>a \in K</math>|| <math>a \cdot (u \oplus v) = a \cdot u \oplus a \cdot v</math> 
|- style="background:#ffffe0"
| 对域加法的[[分配律]]
| rowspan="2" |對所有 <math>u \in V</math> 和所有 <math>a,\,b \in K</math>|| <math>(a + b)\cdot u = a \cdot u  \oplus  b \cdot u</math>
|- style="background:#ffffe0"
| 与域乘法 || <math>a \cdot (b \cdot u) = (a \times b) \cdot v</math>
|}

這樣稱 「 <math>V</math> 為定義在[[域 (數學)|域]] <math>K</math> 上的'''向量空間'''」，而 <math>V</math> 裡的元素 <math>u \in V</math> 被稱為'''向量'''；域 <math>K</math> 裡的元素 <math>a \in K</math> 被稱為'''标量'''。這樣域 <math>K</math> 就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將 <math>K</math> 暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 <math>\oplus</math> 也可以簡寫成 <math>+</math> 。

前四個條件規定 <math>\left( V,\,\oplus \right)</math> 是[[阿贝尔群|交換群]]。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 <math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 是個域，且 <math>V</math> 是一個 <math>K-</math>[[模 (數學)|模]]」。
== 基本性质 ==
以下定理都沿用[[向量空间#正式定義|正式定義]]一節的符號與前提條件。

{{Math theorem
|note = 1
|math_statement=
向量加法的單位元是唯一的。
}}
以上的定理事實上繼承自[[群#單位元的唯一性|群的單位元唯一性]]。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 <math>0_V</math> 代表「向量加法 <math>\oplus</math> 的唯一單位元」，並稱之為 <math>V</math> 的[[零向量]]。

在不跟标量[[域 (数学)|域]]的加法單位元 <math>0_K \in K</math>  混淆的情況下，零向量 '''<math>0_V \in V</math>''' 也可以簡寫成 '''<math>0</math>''' 。
{{Math theorem
|note = 2
|math_statement=
任意向量的向量加法[[逆元素]]是唯一的。
}}
以上的定理事實上繼承自[[群#逆元的唯一性|群的逆元唯一性]]，這樣的話，可以仿造群的習慣以 <math>u^{-1}</math> 代表「向量 <math>u</math> 在向量加法 <math>\oplus</math> 下的唯一逆元素」，甚至可以把 <math>v \oplus u^{-1}</math> 簡記為 <math>v \ominus u</math> ，並暱稱為'''向量減法'''。在不跟标量的加法混淆的情況下， <math>u^{-1}</math> 也可記為 <math>- u</math> ； <math>v \ominus u</math> 也可記為 <math>v - u</math> 。

{{Math theorem
|note = 3
|math_statement=
對所有的純量 <math>a \in K</math> 都有 <math>a \cdot 0_V = 0_V</math> 。（零向量的伸縮還是零向量）
}}
{{Math proof
|proof=
考慮到标量乘法对向量加法的[[分配律]]和[[零向量]]的性質會有

: <math>a \cdot 0_V = a \cdot (0_V + 0_V) = a \cdot 0_V + a \cdot 0_V </math>

那取向量 <math>u \in V </math> 為 <math>a \cdot 0_V</math> 的向量加法[[逆元素]]，配上向量加法的[[结合律]]和[[单位元]]的定義會有

<math>
\begin{align}
0_V 
& = u + a \cdot 0_V\\
& = u + ( a \cdot 0_V + a \cdot 0_V)\\
& = (u + a \cdot 0_V )+ a \cdot 0_V\\
& = 0_V + a \cdot 0_V\\
& = a \cdot 0_V\\
\end{align}
</math>

故得証。<math>\Box </math>
}}

{{Math theorem
|note = 4
|math_statement=
對所有的向量 <math>u \in V</math> ，若純量 <math>0_K \in K</math> 是域加法的[[单位元]]，則 <math>0_K \cdot u = 0_V</math> 。
}}
{{Math proof
|proof=
考慮到[[域 (數學)|域]] <math>K</math> 自身的定義，還有标量乘法对域加法的[[分配律]]的話有

: <math>0_K \cdot u = (0_K + 0_K)\cdot u = 0_K \cdot u  +  0_K \cdot u</math>

那取向量 <math>w \in V </math> 為 <math>0_K \cdot u</math> 的向量加法[[逆元素]]，配上向量加法的[[结合律]]和[[单位元]]的定義會有

: <math>0_V
= w + 0_K \cdot u
= w + (0_K \cdot u  +  0_K \cdot u)
= (w + 0_K \cdot u) + 0_K \cdot u
= 0_V + 0_K \cdot u
= 0_K \cdot u</math>

故得証。<math>\Box </math>
}}

{{Math theorem
|note = 5
|math_statement=
對所有的向量 <math>u \in V </math> 和标量 <math>a \in K</math> ，如果 <math>a \cdot u = 0_V</math> ，则 <math>u = 0_V</math> 或 <math>a = 0_K</math> ( 其中 <math>0_K \in K</math> 是域加法的[[单位元]])。
}}
{{Math proof
|proof=
若 <math>K =\{0_K\}</math> ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 <math>K \neq \{0_K\}</math> 的狀況。

假設存在向量 <math>u \in V</math> 和标量 <math>a \in K</math> 滿足 <math>u \neq 0_V</math> 且 <math>a \neq 0_K</math> ，但 <math>a \cdot u = 0_V</math> 。若以 <math>1_K \in K</math> 表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於标量乘法單位元的部分會有

<math>\begin{align}
u 
& = 1_K \cdot u\\
& = (a \times \frac{1}{a}) \cdot u
\end{align}</math>

那再根據定義關於标量乘法与域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有

<math>\begin{align}
u 
& = (a \times \frac{1}{a}) \cdot u\\
& = (\frac{1}{a} \times a) \cdot u\\
& = \frac{1}{a} \cdot(a \cdot u)
\end{align}</math>

那再套用定理(3)和前提假設會有

<math>\begin{align}
u 
& = \frac{1}{a} \cdot (a \cdot u)\\
& = \frac{1}{a} \cdot 0_V\\
& = 0_V
\end{align}</math>

這跟前提假設是矛盾的，所以根據[[一阶逻辑#反證法|反證法]]和[[一阶逻辑#德摩根定律|德摩根定理]]，對所有向量 <math>u \in V</math> 和所有标量 <math>a \in K</math> ，只有可能「 <math>u = 0_V</math> 或 <math>a = 0_K</math> 」或「<math>a \cdot u \neq 0_V</math>」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。<math>\Box</math>
}}
{{Math theorem
|note = 6
|math_statement=
如果 <math>-a \in K</math> 是 <math>a \in K</math> 的域加法[[逆元素]]，那對所有的向量 <math>u \in V </math>  ，<math>a \cdot u </math> 的向量加法[[逆元素]]必為 <math>-a \cdot u </math>  。
}}
{{Math proof
|proof=
以下設純量 <math>0_K \in K</math> 是域加法的[[单位元]]。

考慮到[[域 (數學)|域]] <math>K</math> 自身的定義，還有标量乘法对域加法的[[分配律]]會有

: <math>0_K \cdot u
=(-a + a) \cdot u
= -a \cdot u + a\cdot u</math>
: <math>0_K \cdot u
= [a + (-a)]\cdot u
= a \cdot u + (-a)\cdot u</math>

然後考慮到前面的定理(4)，就有

: <math>0_V
=0_K \cdot u
= -a \cdot u + a \cdot u</math>
: <math>0_V
=0_K \cdot u
= a \cdot u + (-a) \cdot u</math>

然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量 <math>a \cdot u </math>  的加法逆元素必為 <math>-a \cdot u </math> 。<math>\Box </math>
}}
{{Math theorem
| name = 系理
|math_statement=
如果 <math>{-1}_K \in K</math> 是域加法單位元 <math>1_K \in K</math> 的域加法[[逆元素]]，那對所有的向量 <math>u \in V </math>  ，其向量加法[[逆元素]]必為 <math>{-1}_K \cdot u </math>  。
}}

== 額外結構 ==
研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：
* 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是[[範數]]）則成為'''[[賦範向量空間]]'''。
* 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為'''[[內積空間]]'''。
* 一個向量空間加上[[拓撲結構]]并滿足連續性要求（加法及標量乘法是[[連續映射]]）則成為'''[[拓撲向量空間]]'''。
* 一個向量空間加上[[雙線性算子]]（定義為向量乘法）則成為'''[[域代數]]'''。
== 例子 ==
對一般域{{math|''F''}}，{{math|''V''}}记為{{math|''F''}}-'''向量空間'''。若{{math|''F''}}是[[實數域]]{{math|ℝ}}，则{{math|''V''}}稱為'''實數向量空間'''；若{{math|''F''}}是[[複數域]]{{math|ℂ}}，则{{math|''V''}}稱為'''複數向量空間'''；若{{math|''F''}}是[[有限域]]，则{{math|''V''}}稱為'''有限域向量空間'''。

最简单的{{math|''F''}}-向量空間是{{math|''F''}}自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当{{math|''F''}}是实数域{{math|ℝ}}时，可以验证对任意实数{{math|''a''}}、{{math|''b''}}以及任意实数{{math|'''u'''}}、{{math|'''v'''}}、{{math|'''w'''}}，都有：
# {{math|'''u +''' ('''v + w''') {{=}} ('''u + v''') '''+ w'''}}，
# {{math|'''v + w''' {{=}} '''w + v'''}}，
# 零元素存在：零元素{{math|'''0'''}}满足：对任何的向量元素{{math|'''v'''}}，{{math|'''v''' + '''0''' {{=}} '''v'''}}，
# 逆元素存在：对任何的向量元素{{math|'''v'''}}，它的相反数{{math|'''w''' {{=}} '''{{minus}}v'''}}就满足{{math|'''v''' + '''w''' {{=}} '''0'''}}。
# 标量乘法对向量加法满足[[分配律]]：{{math|''a''('''v + w''') {{=}} ''a'' '''v''' '''+''' ''a''' ''w'''}}.
# 向量乘法对标量加法满足[[分配律]]：{{math|(''a'' + ''b'')'''v''' {{=}} ''a'' '''v''' '''+''' ''b'' '''v'''}}.
# 标量乘法与标量的域乘法相容：{{math|''a''(''b'''''v''') {{=}}(''ab'')'''v'''}}。
# 标量乘法有[[單位元]]：{{math|ℝ}}中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数{{math|'''v'''}}，{{math|1'''v''' {{=}} '''v'''}}。

更为常见的例子是给定了直角坐标系的[[欧几里得空间|平面]]：平面上的每一点<math>P</math>都有一个坐标<math>P(x, y)</math>，并对应着一个向量<math>(x, y)</math>。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组<math>(x, y)</math>。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。

同样地，高维的[[欧几里得空间]]ℝ<sup>n</sup>也是向量空间的例子。其中的向量表示为<math>v = (a_1, a_2, \cdots, a_n)</math>，其中的<math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math>都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
<center><math>\forall \lambda \in \mathbb{R}, \, v = (a_1, a_2, \cdots, a_n) \in \mathbb{R}^n, \, w = (b_1, b_2, \cdots, b_n) \in \mathbb{R}^n</math>，</center>
<center><math>v + w = (a_1, a_2, \cdots, a_n) + (b_1, b_2, \cdots, b_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \cdots, a_n + b_n)</math></center>
<center><math>\lambda v = \lambda (a_1, a_2, \cdots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \cdots, \lambda a_n)</math></center>
可以验证这也是一个向量空间。

再考虑所有系数为实数的[[多项式]]的集合<math>\mathbb{R}[X]</math>。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，<math>\mathbb{R}[X]</math>也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的[[连续函数]]的集合<math>\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。

===方程组与向量空间===
向量空间的另一种例子是齐次[[线性方程组]]（常数项都是'''0'''的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：
:<math>3x + 2y - z = 0</math>
:<math>x + 5y + 2z = 0</math>
如果<math>(x_1, y_1, z_1)</math>和<math>(x_2, y_2, z_2)</math>都是解，那么可以验证它们的“和”<math>(x_1+x_2, y_1+y_2, z_1+z_2)</math>也是一组解，因为：
:<math>3(x_1+x_2) + 2(y_1+y_2) - (z_1+z_2) = (3x_1 + 2y_1 - z_1) + (3x_2 + 2y_2 - z_2) = 0</math>
:<math>(x_1+x_2) + 5(y_1+y_2) + 2(z_1+z_2) = (x_1 + 5y_1 + 2z_1) + (x_2 + 5y_2 + 2z_2) = 0</math>
同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。

一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。

对于齐次线性[[微分方程]]，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：
:<math>f'' + 4xf' + \cos(x)f = 0</math>
出于和上面类似的理由，方程的两个解<math>f_1</math>和<math>f_2</math>的和函数<math>f_1 + f_2</math>也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。

== 子空間基底 ==
如果一個向量空間'''V'''的一個非空子集合'''W'''对于'''V'''的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意'''W'''中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在'''W'''之中），那么将'''W'''称为'''V'''的'''線性子空間'''（简称子空间）。'''V'''的子空间中，最平凡的就是空間'''V'''自己，以及只包含'''0'''的子空间<math>{0}</math>。

給出一個向量集合'''B'''，那么包含它的最小子空間就稱為它的'''[[生成子空間]]'''，也称'''[[線性包络]]'''，记作span('''B''')。

給出一個向量集合'''B'''，若它的生成子空间就是向量空間'''V'''，则稱'''B'''為'''V'''的一个'''[[線性生成空間|生成集]]'''。如果一个向量空間'''V'''拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱'''V'''是一个有限维空间。

可以生成一個向量空間'''V'''的[[線性獨立]]子集，稱為這個空間的'''[[基 (線性代數)|基]]'''。若'''V'''={'''0'''}，约定唯一的基是[[空集]]。對非零向量空間'''V'''，基是'''V'''“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基'''B'''之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的[[線性組合]]。如果能够把基中元素按下标排列：<math>\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n, \cdots \right\}</math>，那么空间中的每一个向量'''v'''便可以通过座標系統來呈現：
:<math>v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n + \cdots </math>

这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。

可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同[[基数 (数学)|基數]]，稱為該空間的'''[[維度]]'''。当'''V'''是一个有限维空间时，'''任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度'''。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ<sup>∞</sup>,…中，  ℝ<sup>n</sup>的維度就是''n''。在一个有限维的向量空间（维度是'''n'''）中，'''确定一组基<math>\mathbf{B} = \left\{ e_1, e_2, \cdots, e_n \right\}</math>，那么所有的向量都可以用'''n'''个标量来表示'''。比如说，如果某个向量'''v'''表示为：
<center><math>v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n </math></center>

那么v可以用数组<math>v = (\lambda_1 ,\lambda_2 , \cdots , \lambda_n )</math>来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：
<center><math>e_1 = (1, 0, \cdots ,0) </math></center>
<center><math>e_2 = (0, 1, \cdots ,0) </math></center>
<center><math>e_n = (0, 0, \cdots ,1) </math></center>
可以证明，存在从任意一个'''n'''维的<math>\mathbf{F}</math>-向量空间到空间<math>\mathbf{F}^n</math>的[[双射]]。这种关系称为同构。

== 線性映射 ==
給定兩個系数域都是'''F'''的向量空間V和W,定义由V到W的[[線性變換]]（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数'''f'''：
<center><math>f : \, V \rightarrow W</math></center>
<center><math>\forall a \in F, u,v \in V, \, f(u+v) = f(u) + f(v), \, f(a \cdot v) = a \cdot f(v)</math></center>
所有线性变换的集合记为<math> \mathcal{L}(V, W)</math>，这也是一个系数域为'''F'''的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，<math> \mathcal{L}(V, W)</math>中的线性变换可以通过[[矩阵]]来表示。

如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是[[一一映射]]，那么这个线性映射称为（线性）'''[[同构]]'''，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為'''同構的'''。如果向量空間V和W之间存在同构<math>f : \, V \rightarrow W</math>，那么其逆映射<math>g : \, W \rightarrow V</math>也存在，并且对所有的<math>x \in V, \, y \in W</math>，都有：
<center><math>g \circ f (x) = x, \, f \circ g (y) = y</math></center>

== 參考文獻 == <!--
=== 引用 ===
{{Reflist|2}}

=== 书籍 === -->
* 《[[中国大百科全书]]》
* Howard Anton and Chris Rorres. ''Elementary Linear Algebra'', Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
* Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. ''Linear Algebra'', Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
* Seymour Lipschutz and Marc Lipson. ''Schaum's Outline of Linear Algebra'', McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
* Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, ''Historia Mathematica'' '''22''' (1995), no. 3, 262-303.
* Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8
== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==

{{线性代数的相关概念}}

[[Category:抽象代数|X]]
[[Category:線性代數|X]]
[[Category:群论|X]]
[[Category:向量]]