查看“︁同界角”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
}}
[[File:45, -315, and 405 co-terminal angles.svg|thumb|45度的3個同界角]]
在[[幾何學]]中，'''同界角'''（{{lang-en|Coterminal angles}}）是指兩個有向[[角]]（有標示起始邊與終邊的角）有著各自的角度量值（其量值可能相等），且共用同一對起始邊與終邊，即共享相同始邊和終邊的角度，但擁有不同的[[旋轉]]量，就稱為'''同界角'''<ref>{{cite book |last=Neal |first=Karla V. |author= |authorlink= |coauthors=R. David Gustafson, Jeffrey D. Hughes |editor= |others= |title=Precalculus, 1st ed. |origdate= |origyear= |origmonth= |url= |format= |accessdate= |edition= |series= |publisher=Cengage Learning |location= |language= |isbn=1133712673 |oclc= |doi= |id= |pages=第412頁 |chapter=Coterminal angles |chapterurl=http://books.google.com.tw/books?id{{=}}kfcJAAAAQBAJ&printsec{{=}}frontcover&pg{{=}}PA412&hl{{=}}zh-TW#v{{=}}onepage&q&f{{=}}false |unified= |quote= |archive-date=2019-10-18 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191018005316/https://books.google.com.tw/books?id=kfcJAAAAQBAJ&printsec=frontcover&pg=PA412&hl=zh-TW#v=onepage&q&f=false |dead-url=no }}</ref>。同界角擁有相同的[[三角函數]]值，因此三角函數具有[[周期函数|周期性]]。每個角皆有[[無限多]]個'''同界角'''，其量值可以為[[負數|負]]，但必須是一個[[實數]]。

==性質==
[[File:Positive, negative angle.svg|thumb|[[逆時針方向|正轉]]和[[順時針方向|逆轉]]都可以得到相同的[[角]]，但他們擁有不同的旋轉量，圖中為45度和[[負|─]]315度]]
每個同界角皆差360[[度_(角)|度]]，換句話說，每360度就會出現一個同界角<ref>{{cite book |last=Slavin |first=Steve |author= |authorlink= |coauthors=Ginny Crisonino |editor= |others= |title=Wiley Self-Teaching Guides第 155 卷 |origdate= |origyear= |origmonth= |url= |format= |accessdate= |edition= |series= |publisher=John Wiley & Sons |location= |language= |isbn=0471680192 |oclc= |doi= |id= |pages=第90頁 |chapter=Circle |chapterurl=http://books.google.com.tw/books?id{{=}}J-U-LknpmzIC&printsec{{=}}frontcover&pg{{=}}PA90&hl{{=}}zh-TW#v{{=}}onepage&q&f{{=}}false |unified= |quote= |date=2004-10-28 |archive-date=2019-11-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191106232251/https://books.google.com.tw/books?id=J-U-LknpmzIC&printsec=frontcover&pg=PA90&hl=zh-TW#v=onepage&q&f=false |dead-url=no }}</ref>。每個同界角兩邊的[[向量]][[內積]]與[[外積]]皆有相同的值。此外，任何角都可以找到'''最小正同界角'''和'''最大負同界角'''。

同界角可以如下定義：
#若有兩個角有相同的始[[邊 (幾何)|邊]]與終邊，則兩個角互為同界角
#若兩角相差360度的[[整數]]倍則兩個角互為同界角

同界角存在關係式：
:<math>\theta_{1}-\theta_{2} = 360^{\circ}k,\,k \in \mathbb{Z}</math>
亦可寫為：
:<math>\theta_{1}-\theta_{2} = 2k\pi,\,k \in \mathbb{Z}</math>
或：
:<math>\sin \theta_{1}-\sin  \theta_{2} = 0</math>
:<math>\cos \theta_{1}-\cos  \theta_{2} = 0</math>

== 與三角函數關係 ==
[[File:Sine cosine plot.svg|thumb|從[[三角函數]]的[[周期]]可以發現，每間隔<math>2\pi</math>就會找到相同高度的點，該點即為同界角的三角函數值。]]
[[File:Asin acos plot.svg|thumb|從[[反三角函數]]圖形得知[[反餘弦]]必得到[[#最小正同界角|最小正同界角]]，而[[反正弦]]則有可能得到[[最小正同界角]]或[[最大負同界角]]]]
{{main|诱导公式}}
從[[三角函數]]的[[诱导公式]]可以得知同界角的存在，下表指出，任何三角函數，只要位移為<math>2\pi</math>，就會得到相同的函數值，因此<math>\theta</math>與<math>\theta + 2\pi</math>互為同界角。

{|class="wikitable" style="background-color: #FFFFFF"
!移位 <math>\frac{\pi}{2}</math>
!移位 <math>\pi</math> <br/> <math>\tan</math> 和 <math>\cot</math> 的周期
!移位 <math>2\pi</math> <br/> <math>\sin</math>、<math>\cos</math>、<math>\csc</math> 和 <math>\sec</math> 的周期
|-
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta 
\end{align}
</math>
|<math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta 
\end{align}
</math>
|}
另外，從簡單的三角方程中，也可以找到同界角，例如：
:考慮方程<math>\cos(\theta)=k\,,\,\theta</math>有無限多組解，其中<math>\arccos(k)</math>為一個解且為[[#最小正同界角|最小正同界角]]，其餘解皆與<math>\arccos(k)</math>或是-<math>\arccos(k)</math>互為同界角。

但是有例外，如[[正切]]和[[餘切]]，由於其[[週期]]不為360度，如正切函數的周期為[[180]][[度 (角)|度]]（即<math>\pi</math>），因此相同的函數值未必互為同界角。

== 最小正同界角與最大負同界角 ==
[[File:最小正同界角與最大負同界角.svg|thumb|角的量與最小正同界角（黃）與最大負同界角（藍）的關係]]
同界角通常有無窮多個，因此在計算一些角度或三角函數抑或是一些週期函數的解時，會取最接近零的同界角。這類同界角又可以再分成最小正同界角與最大負同界角。其中，{{Invisible_anchor|最小正同界角|highlight=yes|visible=最小正同界角恆為正，|text=通常解某些具週期性的方程的主值時，是使用最小正同界角。最小正同界角}}在0到<math>2\pi</math>（360度）之間的最小正同界角與原始角相同，當原始角為<math>2\pi</math>（360度）或<math>2\pi</math>（360度）的倍數時，最小正同界角為零；{{Invisible_anchor|最大負同界角|visible=最大負同界角恆為負，在<math>-2\pi</math>（負360度）到0之間的最大負同界角與原始角相同。|highlight=yes|text=}}

==參見==
*[[角]]
*[[角度]]
*[[三角函數]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}
{{几何术语}}
{{三角函數}}
[[Category:三角學]]
[[Category:幾何術語]]
[[Category:初等幾何]]
[[Category:角]]