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'''同构基本定理'''，或称'''同态基本定理'''、'''同型定理'''（{{lang-en|Isomorphism theorems}}），包含三个[[定理]]，在[[泛代数]]领域有广泛的应用。它们证明了一些[[自然同构]]的存在性。

== 历史 ==

同构基本定理最早由[[埃米·诺特]]（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊''数学分析''（Mathematische Annalen）发表的论文''Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern''中明确阐述。

== 群同構基本定理 ==

[[群论]]中的同构基本定理形式相对简单，却表达了[[商群]]的重要性质。定理的叙述中用到了关于[[正规子群]]的等价类概念。 

=== 群同構第一定理 ===

給定一個[[群同態]] <math>f:G\to G'</math>，根據群同態第一基本定理，我們可以把<math>G</math>[[商群|除以]]<math>G</math>的[[核 (代數)|核]]，使<math>f</math> 變成[[單射]]。

直觀來講，把一個群<math>G</math>除以<math>G</math>的[[子群]]<math>H</math>相當於把<math>H</math>裡的元素看成0(一元素）。把<math>f</math>的核除掉後，我們使得<math>f(x)=0</math>只在 <math>x=0</math>時才會成立，這是<math>f</math>的單射性的等價敘述。

我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對<math>G/\operatorname{Ker} f\to G'</math>進行討論。


定理：
給定<math>G</math>和<math>G'</math>兩個群，和<math>f:G\rightarrow G'</math>群同態。則<math>\operatorname{Ker} f</math>是一個<math>G</math>的[[正規子群]]。


證明：
記 <math>\cdot</math> 為<math>G</math>和<math>G'</math>的運算符號，記<math>e</math>和<math>e'</math>他們的單位元，我們可以驗證<math>\operatorname{Ker} f</math> 在共軛運算下封閉，即對於所有<math>x\in G</math>、所有<math>h\in\operatorname{Ker} f</math>，有<math>x\cdot h\cdot x^{-1}\in\operatorname{Ker} f</math>。

我們有<math>f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})</math>。由於<math>h</math>在<math>\operatorname{Ker} f</math>裡面，即<math>f(h)=e'</math>，我們推論<math>f(x\cdot h\cdot x^{-1}) = f(x)\cdot f(x^{-1}) = f(x\cdot x^{-1}) = f(e) = e'</math>。因此，<math> x\cdot h\cdot x^{-1}</math>在<math>\operatorname{Ker} f</math>裡面，故<math>\operatorname{Ker} f</math>是<math>G</math>的正規子群。


<math>\operatorname{Ker} f</math>是<math>G</math>的正規子群的這個性質讓我們可以在商群<math>G / \operatorname{Ker} f</math>上定義一個與<math>G</math>的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態<math>f : G \rightarrow G'</math>誘導出群同構<math>\widehat f : G / \operatorname{Ker} f \rightarrow  \operatorname{Im} f</math>。

我們有以下的定理：

群同構第一定理
給定<math>G</math>和<math>G'</math>兩個群，<math>f:G \rightarrow G'</math>群同態，則<math>f</math>誘導出一個從<math>G/\operatorname{Ker} f</math>打到<math>f(G)</math>的群同構。


證明：
記<math>H</math>為<math>f</math>的核。我們定義<math>\hat f</math>為<math>\widehat f(xH) = f(x)</math>.

* 函數<math>\widehat f</math>定義良好，即<math>\widehat f(xH)</math>只依賴於<math>xH</math>而與代表<math>x</math>的選擇無關。理由是，若<math>y\in G</math>是<math>xH</math>的一個代表，即若<math>xH=yH</math>，則<math>xy^{-1}\in H=\operatorname{Ker} f</math>，所以<math>f(x)=f(y)</math>，從而<math>\widehat f(xH)=\widehat f(yH)</math>。
* 由商群運算的定義，<math>\widehat f</math>是一個群同態。
* 群同態<math>\widehat f</math>滿射：對於所有<math>y\in f(G)</math>，存在<math>x\in G</math>使得<math>f(x)=y</math>，由此<math>\widehat f(xH)=f(x)=y</math>。
* 群同態<math>\widehat f</math>單射。理由是：考慮<math>\widehat f</math>的核裡的任意元素<math>xH</math>，則<math>e'=\widehat f(xH)=f(x)</math>，即<math>x</math>在<math>f</math>的核<math>H</math>裡面。又<math>xH=H</math>是<math>G/H</math>的單位元。

這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為[[交換圖|示意圖]]
[[File:GroupHomomorphismFactorization .svg|缩略图|交換圖]]

===群同構第二定理===

群同構第二定理：
給定群 <math>G</math> 、其[[正規子群]] <math>N</math> 、其子群 <math>H</math> ，則 <math>N \cap H</math> 是 <math>H</math> 的正規子群，且我們有群同構如下：
<math>H/(H\cap N)\simeq HN/N</math>

證明：
* 必須先證明<math>HN</math>确实是一个群，以及<math>N</math>限定在<math>HN</math> 中亦是一個正規子群，才能討論商群 <math>HN/N</math>。
設 <math>hn</math> 和 <math>h'n'</math> 為 <math>HN</math> 中的兩個元素。我們有 <math>hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'</math> ，其中 <math>hh'\in H</math>, <math>h'^{-1}nh'\in N</math> (因為 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中正規) 且 <math>n'\in N</math>，故 <math>hnh'n'</math> 在 <math>HN</math> 中，其證明了 <math>HN</math> 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。

此外，我們有 <math>N\subset HN\subset G</math> 的包含關係，並且 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中正規，所以也在 <math>HN</math> 中正規。

* 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。
取 <math>j:H\hookrightarrow HN</math>單射群同態，定義為 <math>j(h)=h</math> ，
取標準滿射 <math>\sigma:HN\twoheadrightarrow HN/N</math> (值域是個群，因為 <math>N</math> 在 <math>G</math> 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 <math>f=\sigma\circ j:H\to HN/N</math> 定義為 <math>f(h)=hN</math>。

* 群同態 <math>f</math> 是滿射。 
理由是，設 <math>(hn)N\in HN/N</math> ，其中 <math>h\in H</math> 且 <math>n\in N</math> 。由於 <math>n</math> 在 <math>N</math> 裡面， <math>hnN=hN</math> ，故<math>hnN=f(h)</math>。

* <math>f</math> 的核是 <math>H\cap N</math> 。
理由是， <math>f(h)=hN</math> 是 <math>HN/N</math> 的單位元，即 <math>N</math> 若且唯若， <math>h</math> 在 <math>N</math> 裡面。由於 <math>h</math> 已經在 <math>H</math> 裡面，所以證明這個相當於證明 <math>h</math> 在 <math>N\cap H</math> 裡面。

* 由群同構第一定理知 <math>N\cap H</math> 是 <math>H</math> 的正規子群，且其誘導出的映射 <math>\widehat f:H/(N\cap H)\to HN/N</math> 是群同構。


如果我們弱化前提，假設 <math>N</math> 的[[正規化子]]包含 <math>H</math> (把相等改成包含)這個定理依然正確。

===群同構第三定理===

群同構第三定理：
給定群 <math>G</math> ， <math>N</math> 和 <math>M</math> 為 <math>G</math> 的正規子群，滿足 <math>M</math> 包含於 <math>N</math> ，則 <math>N/M</math> 是 <math>G/M</math> 的正規子群，且有如下的群同構：
<math>(G/M)/(N/M)\simeq G/N.</math>

證明：
<math>G/M\to G/N,~gM\mapsto(gM)N=g(MN)=gN</math> 為滿射，其核為 <math>N/M</math>

所以可由群同構第一定理得到  <math>(G/M)/(N/M)\simeq G/N.</math>

== 环和模上的形式 ==

*将定理中的“群”换为“''R''-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环''R''上的[[模]]的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的[[体 (数学)|域]]上的[[向量空间]]也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是[[秩-零化度定理]]。
*将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
*与子群的乘积''HK''相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用''H''&nbsp;+ ''K''而不再用''HK''表示。具体的定义是：
:<math> H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}</math>

== 推广 ==

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的[[共轭类]]的概念。
:设''A''是一个代数结构，''A''的一个'''同余类'''是''A''上的一个[[等价关系]]<math>\Phi</math>，可看作是''A'' × ''A''上的子代数。[[等价类]]''A/''<math>\Phi</math>的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与''A''同类型的代数结构。 

===第一同构定理===
设''A''和''B''是两个代数结构，''f''是''A''到''B''的[[态射]]，则''A''等价关系<math>\Phi</math>：''a~b''当且仅当''f(a)=f(b)'' 是''A''上的一个同余类，并且''A/''<math>\Phi</math>同构于''f''的像（''B''的子代数）。

===第二同构定理===

设''B''是''A''的子代数，<math>\Phi</math>是''A''上的同余类。令[B]<math>\Phi</math>是所有包含''B''种元素的同余类的集合，它是''A/''<math>\Phi</math>的一个子集；<math>\Phi_B</math>是<math>\Phi</math>限制在
''B'' × ''B''上的部分。那么[B]<math>\Phi</math>是''A/''<math>\Phi</math>的子代数结构，<math>\Phi_B</math>是''B''上的同余类，并且[B]<math>\Phi</math>同构于''B/''<math>\Phi_B</math>。

===第三同构定理===

设''A''是一个代数结构，<math>\Phi</math>和<math>\Psi</math>是''A''上的两个同余关系，<math>\Psi</math>包含于<math>\Phi</math>。则<math>\Phi</math>定义了''A/''<math>\Psi</math>上的一个同余类<math>\Theta</math>：''[a]~[b]''当且仅当''a''与''b''关于 <math>\Phi</math>同余（''[a]''表示''a''所在的<math>\Psi</math>-等价类），并且''A/''<math>\Phi</math>同构于''(A/''<math>\Psi</math>'')/''<math>\Theta</math>。

{{ModernAlgebra}}

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[[Category:态射]]
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