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在[[特殊函数]]中，'''合流超几何函数'''（'''confluent hypergeometric function'''）定义为合流超几何方程的解。它是[[超几何函数|高斯超几何函数]]的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：
* '''Kummer 函数'''（'''第一类合流超几何函数'''）{{mvar|M}}({{mvar|a}},{{mvar|b}},{{mvar|z}}) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数；
* '''Tricomi 函数'''（'''第二类合流超几何函数'''）{{mvar|U}}({{mvar|a}},{{mvar|b}},{{mvar|z}})是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 {{mvar|Ψ}}({{mvar|a}},{{mvar|b}},{{mvar|z}})；
* '''[[惠泰克函数]]''' 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关<ref group="注" name="Lie">关于李代数参数，详见[[超几何函数#李代数参数与连接关系|超几何函数]]</ref>；
<!--* '''库仑波函数'''（'''Coulomb wave functions'''）是库仑波方程的解。-->

== Kummer 方程 ==
根据[[广义超几何函数#超几何函数的性质|广义超几何函数的性质]]，超几何函数 {{mvar|w}}({{mvar|z}})=<sub>1</sub>{{mvar|F}}<sub>1</sub>({{mvar|a}};{{mvar|b}};{{mvar|z}}) 满足的微分方程为：
:<math>z\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b-1\right)w</math>.

展开后就得到 Kummer 方程<ref name="mathphys">{{cite book|title=数学物理方法（第二版）|url=https://archive.org/details/generalhigheredu0000unse_x6b5|author=吴崇试|isbn=9787301068199|publisher=[[北京大学出版社]]|origyear=2003|chapter=17}}</ref>，
:<math>z\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2} + (b-z)\frac{\mathrm dw}{\mathrm dz} - aw = 0</math>,

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：
:<math>M(a,b,z)=\,{}_1F_1(a;b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}\frac{z^n}{n!}</math>

式中 ({{mvar|a}})<sup>({{mvar|n}})</sup> 是[[阶乘幂|升阶乘]]的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形<ref name="mathphys" />：
:<math>{}_1F_1(a;c;z)=\lim_{b\rightarrow\infty}\,{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)</math>

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：
:<math>z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)</math>

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 {{mvar|b}} 等同于上式的 {{mvar|c}}）：
:<math>z^{1-b} \, _1F_1(1+a-b;2-b;z)</math>

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合<ref name="dlmf">{{dlmf|first=Adri B. Olde|last= Daalhuis|id=13}}</ref>：
:<math>U(a,b,z)=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).</math>

它与另一个广义超几何函数有下列关系<ref name="Der">{{cite arXiv|last=Dereziński|first=Jan|title=Hypergeometric type functions and their symmetries|eprint=1305.3113}}</ref>：
:<math>U(a,b,z)=z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1})</math>

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 <sub>2</sub>{{mvar|F}}<sub>0</sub> 对应的超几何级数视为渐近级数。
:<math>U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot{}_2F_0(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow\infty, |\arg z|<\frac{3\pi}2</math>

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

=== 可转化为 Kummer 方程的二阶线性常微分方程 ===
大部分系数为自变量 {{mvar|z}} 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程
:<math>(A+Bz)\frac{d^2w}{dz^2} + (C+Dz)\frac{dw}{dz} +(E+Fz)w = 0</math>

先将 {{mvar|A}}+{{mvar|Bz}} 用一个新的 {{mvar|z}} 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：
:<math>z\frac{d^2w}{dz^2} + (C+Dz)\frac{dw}{dz} +(E+Fz)w = 0</math>

这里的 {{mvar|C,D,E,F}} 是作代换后得到的新的值。然后将 {{mvar|z}} 用 ({{mvar|D}}<sup>2</sup>-4{{mvar|F}})<sup>-1/2</sup>{{mvar|z}} 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：
:<math>z\frac{d^2w}{dz^2}+\left(C+\frac{D}{\sqrt{D^2-4F}}z\right)\frac{dw}{dz}+\left(\frac{E}{\sqrt{D^2-4F}}+\frac{F}{D^2-4F}z\right)w=0</math>

它的解为，
:<math>w(z)=\exp[-(1+\tfrac D{\sqrt{D^2-4F}})\tfrac z2]f(z),\quad f(z)=k_1M(a,C,z)+k_2U(a,C,z),\quad a=(1+\tfrac D{\sqrt{D^2-4F}})\tfrac C2-\tfrac E{\sqrt{D^2-4F}},
k_1,k_2\in\mathbb C</math>

=== 李代数参数与惠泰克方程 ===
Kummer 方程的李代数参数<ref name="Lie" group="注" /><ref name="Der" />定义为
:<math>\alpha=b-1, \theta=2a-b,</math>
其中第一个李代数参数是 {{mvar|z}}=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 {{mvar|z}}=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 {{mvar|z}}=0 处的两个正则解可以表示为
:<math>F_{\alpha,\theta}(z) \text{ and } z^{-\alpha}F_{-\alpha,\theta}(z)</math>

惠泰克方程的形式为：
:<math>\frac{\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2}+\left(-\frac{1}{4}+\frac{\kappa}{z}+\frac{1/4-\mu^2}{z^2}\right)w=0.</math>

它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系<ref name="mathphys" />：
:<math>M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)</math>
:<math>W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)</math>

注意到
:<math>M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}F_{2\mu,-2\kappa}(z)</math>

故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

== 积分表示 ==
合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：
:<math>\Beta(a,c-a)\,{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)=\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-\tfrac zb)^{-b}\mathrm dt
=\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-\tfrac z{bt})^{-b}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0, |\arg(1-\tfrac zb)|<\pi</math>
式中的 Β 是[[beta函数]]。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示<ref name="Der" />：
:<math>\Beta(a,c-a)\,{}_1F_1(a;c;z)=\int_1^\infty t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac zt}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0</math>

第二类合流超几何函数的积分表示为<ref name="Der" />：
:<math>\Gamma(a)U(a,b,z) = \int_0^\infty e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt, \quad \Re(a)>0</math>

== 变换公式 ==
高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：
:<math>{}_2F_1(a,b;c;\tfrac zb)  =(1-\tfrac zb)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac 1b\tfrac{bz}{z-b}),\quad |\arg(1-\tfrac zb)|<\pi</math>

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式<ref name="dlmf" />：
:<math>{}_1F_1(a;c;z)  = e^z\, {}_1F_1(c-a;c;-z)</math>

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为<ref name="dlmf" />：
:<math>U(a,b,z)=z^{1-b} U\left(1+a-b,2-b,z\right)</math>.

== 特殊情形 ==
很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

=== 柱函数 ===
第一类、第二类[[虚宗量贝塞尔函数]]可以分别表示为<ref name="mathphys" />：
:<math>I_\nu(z)=\frac{z^\nu}{2^\nu e^z\Gamma(\nu+1)}M(\nu+\frac12,2\nu+1,z)</math>
:<math>K_\nu(z)=\sqrt{\pi}(2z)^\nu e^{-z}U(\nu+\frac12,2\nu+1,z)</math>

=== Γ, 误差函数 ===
[[不完全伽玛函数]]可以表示为<ref name="mathphys" />：
:<math>\gamma(a,z)=\frac{z^a}aM(a,a+1,-z),\quad a\notin\mathbb Z_0^-</math>
:<math>\Gamma(a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)</math>

[[误差函数]]可以表示为<ref name="mathphys" />：
:<math>\operatorname{erf}(z)=\frac{2z}{\sqrt\pi}M(\frac12,\frac32,-z^2)</math>

=== 正交多项式及相关函数 ===
[[拉盖尔多项式|拉盖尔函数]]可以表示为<ref name="mathphys" />：
:<math>L_n^{(\alpha)}(z)= {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,z),\quad \alpha\notin\mathbb Z^-</math>
其中的二项式系数用[[贝塔函数]]来定义。

（物理学上的）[[厄米多项式]]可以表示为<ref name="mathphys" />：
:<math>H_n(z)=2^nU(-\frac n2,\frac 12,z^2),\quad n\in\mathbb Z_0^+,\Re(z)>0</math>

== 注 ==
<references group="注" />
== 参考文献 ==
<references />
* {{springer|id=c/c024700|first=E.A. |last=Chistova}}
* {{cite book | last1= Erdélyi | first1= Arthur | author1-link=  | last2= Magnus | first2= Wilhelm | author2-link=  | last3= Oberhettinger | first3= Fritz | lastauthoramp= yes | last4= Tricomi | first4= Francesco G. | title= Higher transcendental functions. Vol. I | location= New York–Toronto–London | publisher= McGraw–Hill Book Company, Inc. | year= 1953 | mr= 0058756 | ref= harv}}
* {{cite journal | last= Kummer | first= Ernst Eduard | authorlink=  | title= De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis | language= la | url= http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002141329 | format=  | journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik | year= 1837 | volume= 17 | pages= 228–242 | issn= 0075-4102 | ref= harv | doi= 10.1515/crll.1837.17.228 | access-date= 2014-09-05 | archive-date= 2014-08-19 | archive-url= https://web.archive.org/web/20140819212751/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002141329 | dead-url= no }}
* {{cite book | last= Slater | first= Lucy Joan | authorlink= | title= Confluent hypergeometric functions | url= https://archive.org/details/confluenthyperge0000slat | location= Cambridge, UK | publisher= Cambridge University Press | year= 1960 | mr= 0107026 | ref= harv}}
* {{cite journal | last= Tricomi | first= Francesco G. | authorlink= | title= Sulle funzioni ipergeometriche confluenti | language= it | journal= Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta | year= 1947 | volume= 26 | pages= 141–175 | issn= 0003-4622 | mr= 0029451 | ref= harv | doi=10.1007/bf02415375}}
* {{cite book | last= Tricomi | first= Francesco G. | title= Funzioni ipergeometriche confluenti | language= it | location= Rome | publisher= Edizioni cremonese | year= 1954 | series= Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche | volume= 1 | isbn= 978-88-7083-449-9 | mr= 0076936 | ref=harv}}

== 外部链接 ==
* Wolfram 函数大全上的 [http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F1/ Kummer 超几何函数]{{Wayback|url=http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F1/ |date=20140905073638 }}
* Wolfram 函数大全上的 [http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricU/ Tricomi 超几何函数]{{Wayback|url=http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HypergeometricU/ |date=20140725061807 }}

[[Category:超几何函数]]