查看“︁合数”︁的源代码

[[File:Composite number Cuisenaire rods 10.png|thumb|用[[古氏積木]]排列出合數10的因數]]
[[File:Primes-vs-composites.svg | thumb|right |合數（右側紅色部份）可以用長寬都不是1的長方形來表示，但質數（左側藍色部份）只能用其中一邊長是1的長方形表示]]
在[[數論]]中，'''合數'''（也稱為'''合成數'''）是除了1和其本身外具有其他正[[因數]]的正[[整數]]<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|pp=23–24}}</ref><ref name="#1">{{harvtxt|Long|1972|p=16}}</ref>。依照定義，每一個大於[[1]]的整數若不是[[質數]]，就會是合數<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|pp=198,266}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=106}}</ref>。而[[1]]則被認為不是質數，也不是合數。

例如，整數[[14]]是一個合數，因為它可以被分解成<math>2 \times 7</math>。而整數[[2]]無法再找到本身和1以外的正因數，因此不是合數。

起初120个合数为：{{數列<!--
   使用模板防止有心人士使用不易看出的鬼祟修改數字方式破壞條目
-->|<nowiki>{{#ifexpr:$>0|$, }}</nowiki> |2|158|公式註解=
   將某數x與大於等於x-1的最小質數相減得到的正負情況帶入x，
   則所有質數會變為負、合數變為正再透過上面那行的{{#ifexpr:$>0|$, }}
   濾掉所有小於零的數即為顯示所有合數。範圍2~158
|x*sgn(abs(x-nextPrimeAtModuleFactorization(x-1)))|delnowiki=1|preprocess=1}}...等等{{OEIS|id=A002808}}。

每一個合數都可以寫成二個或多個質數（不一定是相異質數）的乘積<ref name="#1"/>。例如，合數[[299]]可以寫成13 × 23，合數[[360]]可以寫成2<sup>3</sup> × 3<sup>2</sup> × 5，而且若將質因數依大小排列後，此表示法是唯一的。這是[[算术基本定理]]<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=270}}</ref><ref>{{harvtxt|Long|1972|p=44}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1968|p=85}}</ref><ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=53}}</ref>。

有許多的[[素性测试]]可以在不進行[[因數分解]]的情形下，判斷一數字是質數還是合數。

== 性質 ==
* 所有大於2的[[偶數]]都是合數，也就是在[[正整數]]中除了2以外，其餘數的個位數為0、2、4、6、8者均為合數。4為最小的合數。
* 每一合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積。（[[算術基本定理]]）
* 所有合數都有至少3個正因數，例如4有正因數1、2、4，6有正因數1、2、3、6。
* 對任一大於5的合數<math>n</math>，<math>(n-1)! \equiv 0 \pmod{n}</math>。（[[威爾遜定理]]）
* 對於任意的正整數<math>n</math>，都可以找到一個正整數<math>x</math>，使得<math>x</math>、<math>x+1</math>、<math>x+2</math>、…、<math>x+n</math>都是合數。

== 合數的類型 ==
{{Euler diagram numbers with many divisors.svg}}
分類合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個可表示為兩個質數之乘積的合數稱為[[半質數]]，有三個質因數的合數則稱為[[楔形數]]。在一些的應用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者，
:<math>\mu(n) = (-1)^{2x} = 1</math>

（其中μ為[[默比烏斯函數]]且<math>x</math>為質因數個數的一半），而前者則為
:<math>\mu(n) = (-1)^{2x + 1} = -1</math>

注意，對於質數，此函數會傳回-1，且<math>\mu(1) = 1</math>。而對於有一個或多個重複質因數的數字<math>n</math>，<math>\mu(n) = 0</math>。

另一種分類合數的方法為計算其正因數的個數。所有的合數都至少有三個正因數。一質數<math>p</math>的[[平方數|平方]]，其正因數有<math>\{1, p, p^2\}</math>。一數若有著比它小的整數都還多的正因數，則稱此數為[[高合成數]]。另外，完全平方數的正因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

還有一種將合數分類的方式，是檢查其質因數是否都比特定數字大，或是比特定數字小。這些會稱為[[光滑數]]或[[粗糙數]]。

== 腳註 ==
{{reflist}}

==參考文獻==
* {{ citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley | location = Reading }}
* {{ citation | first1 = I. N. | last1 = Herstein | author-link=Israel Nathan Herstein | year = 1964 | isbn = 978-1114541016 | title = Topics In Algebra | publisher = Blaisdell Publishing Company | location = Waltham }}
* {{ citation | first1 = Calvin T. | last1 = Long | year = 1972 | title = Elementary Introduction to Number Theory | edition = 2nd | publisher = D. C. Heath and Company | location = Lexington | lccn = 77-171950 }}
* {{ citation | first1 = Neal H. | last1 = McCoy | year = 1968 | title = Introduction To Modern Algebra, Revised Edition | publisher = Allyn and Bacon | location = Boston | lccn = 68-15225 }}
* {{ citation | first1 = Anthony J. | last1 = Pettofrezzo | first2 = Donald R. | last2 = Byrkit | year = 1970 | title = Elements of Number Theory | publisher = Prentice Hall | location = Englewood Cliffs | lccn = 77-81766 }}

== 相關條目 ==
{{wikibooks|小学数学/质数与合数}}
* [[質數]]
* [[質因數]]
* [[最小公倍數]]
* [[最大公因數]]
* [[整数分解]]
* [[埃拉托斯特尼筛法]]
* [[素因子表]]
* [[高合成数]]
{{Divisor classes navbox}}
[[Category:初等数论]]
[[Category:算术]]
[[Category:整数数列|H]]