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{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代數]]中，'''合成列'''是藉著將代數對象（如[[群]]、[[模 (數學)|模]]等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般[[環 (代數)|環]]上的模未必能表成[[單模]]的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組'''過濾''' <math>\{0\}= M_0 \subset \cdots \subset M_n=M</math>，使每個[[子商]] <math>M_i/M_{i+1}</math> 皆為單模；這些單模稱為'''合成因子'''，<math>n</math> 稱為'''合成長度'''，都是 <math>M</math> 的不變量。亦可考慮 <math>M</math> 的子模[[範疇論|範疇]] <math>\mathcal{A}</math>，此時 <math>[M] \in K(\mathcal{A})</math> 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，[[K-群]]提供了模的'''半單化'''。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而'''若尔当-赫尔德定理'''斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個[[置換]]。因此，合成列給出[[有限群]]或[[阿廷模]]的不變量。

== 群的情形 ==
設 <math>G</math> 為群，<math>G</math> 的合成列是對應於一族子群
: <math>\{e\} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_n = G</math>
滿足 <math>H_i \triangleleft H_{i+1}</math>，使其子商 <math>H_{i+1}/H_i</math> 皆為非平凡的[[單群]]；易言之，<math>H_i</math> 是 <math>H_{i+1}</math> 的極大[[正規子群]]。這些子商也稱作'''合成因子'''。對於有限群，恆存在合成列。

== 模的情形 ==
固定環 <math>R</math> 及 <math>R</math>-模 <math>M</math>。<math>M</math> 的'''合成列'''是一族子模
: <math>\{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M</math>
其中每個子商 <math>J_{k+1}/J_k</math> 皆為非平凡的[[單模]] 。易言之，<math>J_k</math> 是 <math>J_{k+1}</math> 的極大子模。這些子商也稱為'''合成因子'''。若 <math>R</math> 是[[阿廷環]]，根據 '''Hopkins-Levitzki 定理'''，任何[[有限生成]]的 <math>R</math>-模皆有合成列。

== 例子 ==
'''例子'''. 考慮 12 階[[循環群]] <math>C_{12}</math>，它具有三個相異的合成列
:<math> C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}</math>,
:<math> C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_4\triangleleft C_{12}</math>, 
:<math> C_1\triangleleft C_3\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}</math>
合成因子分別為
: <math> C_2,C_3,C_2</math> 
: <math> C_2,C_2,C_3</math>
: <math> C_3,C_2,C_2</math>
其間僅差個置換。

== 若尔当-赫尔德定理 ==
: '''定理'''. 若群 <math>G</math>〔或 <math>R</math>-模 <math>M</math>〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個[[置換]]。

'''略證'''：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列
: <math>\{0\} = M_0 \subset \cdots \subset M_r = M</math>
: <math>\{0\} = M'_0 \subset \cdots \subset M'_s = M</math>
對 <math>\mathrm{min}(r,s)</math> 行[[數學歸納法]]。若 <math>\mathrm{min}(r,s)=0</math> 則 <math>M=0</math>，若 <math>\mathrm{min}(r,s)=1</math> 則 <math>M</math> 是[[單模]]。以下假定 <math>r, s \geq 2</math>。

若 <math>M_{r-1}=M_{s-1}</math>，據歸納法假設，<math>r-1=s-1</math> 且 <math>M_{i+1}/M_i</math> 與 <math>M'_{i+1}/M'_i</math>（<math>0 \leq i \leq r-2</math>）之間僅差置換。此外 <math>M/M_{r-1}=M_/M'_{s-1}</math>，故定理成立。

設 <math>M_{r-1} \neq M'_{s-1}</math>。此時必有 <math>M_{r-1}+M'_{s-1}=M</math>。置 <math>N := M_{r-1} \cap M'_{s-1}</math>，於是
: <math>M/M_{r-1} = (M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1} \simeq M'_{s-1}/N</math>
: <math>M/M'_{s-1} = (M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1} \simeq M_{r-1}/N</math>
取 <math>N</math> 的合成列 <math>\{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t = N</math>，依上式知
: <math>\{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t=N \subset M_{r-1} \subset M \quad \ldots (*)</math>
: <math>\{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t=N \subset M'_{s-1} \subset M \quad \ldots (**)</math>
皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 <math>M</math>，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 <math>M_\bullet, M'_\bullet</math> 的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。

== 參見 ==
* [[正規列]]
* [[長度 (模論)]]

== 站外連結 ==
* {{springer|id=C/c024300|title=Composition sequence|author=O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:群論|H]]
[[Category:模論|H]]