查看“︁叶状结构”︁的源代码

[[Image:Reebfoliation-ring-2d-2.svg|200px|thumb|[[里布叶状结构]]的2维截面]]
[[Image:Reeb foliation half-torus POV-Ray.png|200px|thumb|right|里布叶状结构的3维模型]]
[[微分几何]]中，'''叶状结构'''（{{lang|en|foliation}}）是[[拓扑流形|''n''-流形]]上的[[等价关系]]，[[等价类]]是连通[[单射]][[子流形#浸入子流形|浸入子流形]]，都具有相同维度''p''，以[[实坐标空间]]<math>\mathbb{R}^n</math>的[[流形分解|分解]]为标准[[嵌入 (数学)|嵌入]][[相對化拓撲|子空间]]<math>\mathbb{R}^p</math>的[[陪集]]<math>x+\mathbb{R}^p</math>为模型。等价类称作叶状结构的'''叶'''（leaf）。<ref>{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=5}}</ref>若要求流形和/或子流形具有（<math>C^r</math>类的）[[分段线性流形|分段线性]]、[[微分流形|微分]]或[[解析流形|解析]]结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的<math>C^r</math>类微分叶状结构中，通常''r'' ≥ 1（否则<math>C^0</math>就是拓扑叶状结构）。<ref>{{harvnb|Anosov|2001}}</ref>''p''（叶的维度）称作叶状结构的维度，<math>q=n-p</math>称作其[[余维数]]。

在数学物理学家关于[[广义相对论]]的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的[[洛伦兹流形]]（(''p''+1)维[[时空]]）分解为''p''维[[超平面]]，指定为[[梯度]]处处不为零的实值[[光滑函数]]（[[标量场]]）的水平集；这光滑函数通常被假定为'''时间函数'''，梯度处处[[时空|类时间]]，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。<ref>{{harvnb|Gourgoulhon|2012|p=56}}</ref>注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶'''局部'''上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，<ref>{{cite journal |first=G. |last=Reeb |title=Remarques sur les structures feuilletées |journal=Bull. Soc. Math. France |volume=87 |issue= |pages=445–450 |year=1959 |doi=10.24033/bsmf.1539 |url=http://archive.numdam.org/article/BSMF_1959__87__445_0.pdf |zbl=0122.41603 |doi-access=free |access-date=2024-01-05 |archive-date=2024-01-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240105113337/http://archive.numdam.org/article/BSMF_1959__87__445_0.pdf |dead-url=no }}</ref><ref name="Lawson"/>因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的[[完整群|完整]]也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然[[3-球面]]有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。

叶状结构好比是一种给[[流形]]穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有[[良定义]]的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。

==叶状图与图册==
为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。
[[Image:Foliated chart.svg|200px|thumb|left|3维叶状图（foliated chart），''n'' = 3、''q'' = 1。斑（plaque）是2维的，横截（transversal）是1维的。]]
<math>\mathbb{R}^n</math>中的''矩[[邻域]]''是形式为<math>B=J_1\times\cdots\times J_n</math>的[[开集|开]][[子集]]，其中<math>J_i</math>是第''i''个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若<math>J_1</math>具有形式<math>(a,\ 0]</math>，则称''B''具有[[边界 (拓扑学)|边界]]<ref>{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=19}}</ref>
:<math>\partial B = \left \{ \left(0,x^2, \ldots, x^n \right ) \in B \right \}.</math>
在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在<math>\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q</math>，允许流形具有边界和（[[凸集|凸]]）角的可能。

''n''-流形''M''上余维为''q''的叶状图（foliated chart）是<math>(U,\ \varphi)</math>，其中<math>U\subset M</math>是开集，<math>\varphi: U \to B_{\tau} \times B_{\pitchfork}</math>是[[微分同胚]]，<math>B_{\pitchfork}</math>是<math>\mathbb{R}^q</math>中的矩邻域，<math>B_{\tau}</math>是<math>\mathbb{R}^p</math>中的矩邻域。集合<math>P_y=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times\{y\})</math>，其中<math>y \in B_{\pitchfork}</math>称作这叶状图的斑（plaque）。<math>\forall x\in B_{\tau}</math>，集合<math>S_x=\varphi_x=\varphi^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork})</math>称作叶状图的[[横截 (几何)|横截]]（transversal）。集合<math>\partial_{\tau}U=\varphi^{-1}(B_{\tau}\times(\partial B_{\pitchfork}))</math>称作''U''的切边界（tangential boundary），<math>\partial_{\pitchfork}U=\varphi^{-1}((\partial B_{\tau})\times B_{\pitchfork})</math>称作''U''的横截边界（transverse boundary）。<ref name="Foliations I p. 20">{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=20}}</ref>

叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。<math>B_{\tau}</math>表示“''B''-切”，<math>B_{\pitchfork}</math>表示“''B''-截”。还有多种可能。若<math>B_{\pitchfork},\ B_{\tau}</math>都有空边界，则叶状图就建模了无界''n''-流形的余维-''q''叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角''n''-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若<math>\partial B_{\pitchfork}\neq \varnothing=\partial B_{\tau}</math>，则<math>\partial U=\partial_{\tau}U</math>是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若<math>\partial B_{\tau}\neq\varnothing=\partial B_{\pitchfork}</math>，则<math>\partial U=\partial_{\pitchfork}U</math>是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若<math>\partial B_{\pitchfork}\neq\varnothing\neq\partial B_{\tau}</math>，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。<ref name="Foliations I p. 20"/>
[[Image:Foliated chart boundaries.svg|500px|thumb|right|(''a'') 与边界相切的叶状结构<math>\partial B_{\pitchfork}\neq\varnothing=\partial B_{\tau}</math>； (''b'') 与边界相截的叶状结构<math>\partial B_{\tau}\neq\varnothing=\partial B_{\pitchfork}</math>； (''c'') 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构<math>\partial B_{\pitchfork}\neq\varnothing\neq\partial B_{\tau}</math>。]]

''n''-流形''M''上余维为''q''的<math>C^r\ (0\le r\le\infty)</math>类''叶状[[图册]]''（foliated atlas）是余维为''q''的叶状图的<math>C^r</math>-图册<math>\mathcal{U} = \{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\mid \alpha \in A\}</math>，只要''P''、''Q''在<math>\mathcal{U}</math>的不同图中都是斑，''P'' ∩ ''Q''在''P''、''Q''中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。<ref>{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=23}}</ref>

重新表述相干叶状图的有效方法是将<math>w\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}</math>写作：<ref name="Foliations I p. 25">{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=25}}</ref>
:<math>\varphi_{\alpha} (w) = \left ( x_{\alpha} (w), y_{\alpha} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\alpha} \times B_{\pitchfork}^{\alpha},</math>
:<math>\varphi_{\beta} (w) = \left ( x_{\beta} (w), y_{\beta} (w) \right ) \in B_{\tau}^{\beta} \times B_{\pitchfork}^{\beta}.</math>
<math>(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})</math>常写作<math>(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})</math>，其中<ref name="Foliations I p. 25"/>
:<math>x_{\alpha} = \left (x_{\alpha}^1, \dots,x_{\alpha}^p \right ), </math>
:<math>y_{\alpha} = \left (y_{\alpha}^1, \dots,y_{\alpha}^q \right ). </math>

在<math>\varphi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})</math>上，坐标公式可改写为<ref name="Foliations I p. 25"/>

:<math>g_{\alpha \beta} \left ( x_{\beta},y_{\beta} \right ) = \varphi_{\alpha} \circ \varphi_{\beta}^{-1} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ) = \left ( x_{\alpha} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ), y_{\alpha} \left ( x_{\beta}, y_{\beta} \right ) \right ).</math>
[[Image:Two plaques meeting.svg|200px|thumb|left|<math>U_{\alpha}</math>的每个斑都会遇到<math>U_{\beta}</math>的2个斑。]]
<math>(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ x_{\beta},\ y_{\beta})</math>是相干叶状结构这一条件意味着，若<math>P\subset U_{\alpha}</math>是斑，则<math>P\cap U_{\beta}</math>的连通分量位于<math>U_{\beta}</math>的（可能不同的）斑中。等价地，由于<math>U_{\alpha},\ U_{\beta}</math>的斑分别是横坐标<math>y_{\alpha},\ y_{\beta}</math>的水平集，<math>\forall z\in U_{\alpha}\cap U_{\beta}</math>都有邻域，其中公式
:<math>y_\alpha = y_\alpha(x_\beta, y_\beta) = y_\alpha(y_\beta)</math>
与<math>x_{\beta}</math>无关。<ref name="Foliations I p. 25"/>

叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是，<math>(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha})</math>的斑可以与多个<math>(U_{\beta},\ \varphi_{\beta})</math>的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。

若<math>\mathcal{U} \cup \mathcal{V}</math>是叶状<math>C^r</math>图册，则''M''上两具有相同余维和光滑度的<math>C^r</math>类叶状图册<math>\mathcal{U},\ \mathcal{V}</math>是相干的：<math>\left ( \mathcal{U} \thickapprox \mathcal{V} \right )</math>。叶状图册的相干是等价关系。<ref name="Foliations I p. 25"/>
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明 <ref name="Foliations I p. 25"/>
|-
|
[[自反关系]]和[[对称关系]]是直接的。要证[[传递关系]]，令<math>\mathcal{U} \thickapprox \mathcal{V}</math> and <math>\mathcal{V} \thickapprox \mathcal{W}</math>。令<math>(U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha})\in\mathcal{U},\ (W_{\lambda},\ x_{\lambda},\ y_{\lambda})\in\mathcal{W}</math>，并假设有点<math>w\in U_{\alpha}\cap W_{\lambda}</math>。择<math>(V_{\delta},\ x_{\delta},\ y_{\delta})\in\mathcal{V}</math>，使得<math>w\in V_{\delta}</math>。根据上述说明，''w''有属于<math>U_{\alpha}\cap V_{\delta}\cap W_{\lambda}</math>的邻域，使得
:<math>y_\delta = y_\delta( y_\lambda) \quad \text{on} \quad \varphi_\lambda ( N ),</math>
:<math>y_\alpha = y_\alpha(y_\delta) \quad \text{on} \quad \varphi_\delta ( N ),</math>
由此
:<math>y_{\alpha} = y_\alpha \left ( y_\delta( y_\lambda) \right ) \quad \text{on} \quad \varphi_\delta ( N ).</math>
由于<math>w\in U_{\alpha}\cap W_{\lambda}</math>是任意的，可以总结<math>y_{\alpha}(x_{\lambda},\ y_{\lambda})</math>局部依赖于<math>x_{\lambda}</math>。于是可以证明<math>\mathcal{U} \thickapprox \mathcal{W}</math>，因为相干是可传递的。<ref name="Foliations I p. 26">{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=26}}</ref>
|}
[[Image:Regular foliated atlas.svg|350px|thumb|right|规则叶状图册中的图。]]
上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若<math>(U,\ \varphi),\ (W,\ \psi)</math>都是叶状图，使得<math>\overline{U}</math>（''U''的[[闭包 (数学)|闭包]]）是''W''的子集，<math>\varphi=\psi|U</math>；则，若<math>\varphi(U) = B_{\tau} \times B_{\pitchfork},</math>可知<math>\psi|\overline{U}</math>，写作<math>\overline{\varphi}</math>，将<math>\overline{U}</math>微分同胚地带到<math>\overline{B}_{\tau} \times \overline{B}_{\pitchfork}.</math>

符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）：

# <math>\forall\alpha\in A,\ \overline{U}_{\alpha}</math>是叶状图<math>(W_{\alpha},\ \psi_{\alpha})</math>的紧子集，且<math>\varphi_{\alpha}=\psi_{\alpha}|U_{\alpha}</math>；
# [[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]<math>\{U_{\alpha}|\alpha\in A\}</math>是局部有限的；
# 若<math>(U_{\alpha},\ \varphi_{\alpha}),\ (U_{\beta},\ \varphi_{\beta})</math>都是叶状图册的元素，则每个闭斑<math>P\subset\overline{U}_{\alpha}</math>的内部与最多与<math>\overline{U}_{\beta}</math>中的1个斑相遇。<ref name="Foliations I p. 27">{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=27}}</ref>

根据性质 (1)，坐标<math>x_{\alpha},\ y_{\alpha}</math>延伸到<math>\overline{U}_{\alpha}</math>上的坐标<math>\overline{x}_{\alpha},\ \overline{y}_{\alpha}</math>，可以写成<math>\overline{\varphi}_{\alpha} = \left (\overline{x}_{\alpha},\overline{y}_{\alpha} \right ).</math>性质 (3)等价于要求：若<math>U_{\alpha}\cap U_{\beta}\neq\varnothing</math>，横坐标变化<math>\overline{y}_{\alpha} = \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )</math>独立于<math>\overline{x}_{\beta}.</math>即
:<math>\overline{g}_{\alpha \beta} = \overline{\varphi}_{\alpha} \circ \overline{\varphi}_{\beta}^{-1} : \overline{\varphi}_{\beta} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right ) \rightarrow \overline{\varphi}_{\alpha} \left ( \overline{U}_{\alpha} \cap \overline{U}_{\beta} \right )</math>
有公式<ref name="Foliations I p. 27"/>
:<math>\overline{g}_{\alpha \beta} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right ) = \left ( \overline{x}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right ), \overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{y}_{\beta} \right ) \right ).</math> 
类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射<math>y_{\alpha}</math>可视作[[浸没 (数学)|浸没]]
:<math>y_{\alpha} : U_{\alpha} \rightarrow \mathbb{R}^q</math>
公式<math>y_{\alpha}=y_{\alpha}(y_{\beta})</math>可视作[[微分同胚]]
:<math>\gamma_{\alpha \beta} : y_{\beta} \left ( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \right ) \rightarrow y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \cap U_{\beta} \right ).</math>
它们满足[[切赫上同调|上循环条件]]，即，在<math>y_{\delta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}\cap U_{\delta})</math>上，
:<math>\gamma_{\alpha \delta} = \gamma_{\alpha \beta} \circ \gamma_{\beta \delta}</math>
尤其是，<ref>{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=28}}</ref>
:<math>\gamma_{\alpha \alpha} \equiv y_{\alpha} \left ( U_{\alpha} \right ),</math>
:<math>\gamma_{\alpha \beta} = \gamma_{\beta \alpha}^{-1}.</math>
用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干[[覆盖_(拓扑学)#精細|细化]]。<ref name="Foliations I p. 29">{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=29}}</ref>
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明 <ref name="Foliations I p. 29"/>
|-
|
固定''M''上的一个度量核一个叶状图册<math>\mathcal{W}.</math>传递到[[覆盖 (拓扑学)|子覆盖]]，如有必要，可假设<math>\mathcal{W} = \left \{ W_j,\psi_j \right \}_{j=1}^l</math>有限。令ε > 0是<math>\mathcal{W}</math>的[[勒贝格数引理|勒贝格数]]，即直径< ε的<math>\forall\subset X\subseteq M</math>都完全位于某个<math>W_j</math>中。<math>\forall x\in M</math>，择''j''使得<math>x\in W_j</math>、择叶状图<math>(U_x,\ \varphi_x)</math>使得
:<math>x\in U_x\subseteq \overline{U}_x\subset W_j,</math>
:<math>\varphi_x=\psi_j|U_x,</math>
:<math>{\rm diam}(U_x)<\varepsilon/2.</math>
设<math>U_x\subset W_k\ (k\neq j)</math>，并照常记<math>\psi_k=(x_k,\ y_k)\ (y_k:\ W_k\to\mathbb{R}^q)</math>是横坐标映射。这是[[浸没 (数学)|浸没]]，以<math>W_k</math>中的斑为水平集。因此，<math>y_k</math>限制到浸没<math>y_k:\ U_x\to\mathbb{R}^q.</math>

这在<math>x_j</math>中是局部为常的；因此，若有必要可以选择较小的<math>U_x</math>，假定<math>y_k|\overline{U}_x</math>以<math>\overline{U}_x</math>的斑为水平集。即，<math>W_k</math>的斑最多与<math>\overline{U}_x</math>的一个（紧）斑相遇（因此包含）。由于1 < ''k'' < ''l'' < ''∞''，可以择<math>U_x</math>，使得只要<math>U_x\subset W_k</math>，<math>\overline{U}_x</math>的不同斑就位于<math>W_k</math>的不同斑中。传递到<math>\{(U_x,\ \varphi_x)|x\in M\}</math>的有限子图册<math>\mathcal{U} = \left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=1}^N</math>。若<math>U_i\cap U_j\neq 0,\ {\rm diam}(U_i\cup U_j)<\varepsilon</math>，于是存在索引''k''使得<math>\overline{U}_i \cup \overline{U}_j \subseteq W_k</math>。<math>\overline{U}_i</math>的不同斑（分别是<math>\overline{U}_j</math>的不同斑）位于<math>W_k</math>的不同斑中。因此<math>\overline{U}_i</math>的每个斑内部最多与<math>\overline{U}_j</math>的一个斑相交，反之亦然。根据构造，<math>\mathcal{U}</math>是<math>\mathcal{W}</math>的相干细化，是规则叶状图册。

若''M''非紧，[[局部紧]]性和[[第二可数空间|第二可数性]]允许我们选择紧子集序列<math>\left \{ K_i \right \}_{i=0}^{\infty}</math>，使得<math>\forall i\ge 0,\ M = \bigcup_{i=1}^{\infty} K_i,\ K_i\subset {\rm int}K_{i+1}</math>。传递到子图集，假定<math>\mathcal{W} = \left \{ W_j, \psi_j \right \}_{j=0}^{\infty}</math>可数，且可找到严格递增正整数列<math> \left \{ n_l \right \}_{l=0}^{\infty}</math>使<math>\mathcal{W}_l = \left \{ W_j, \psi_j \right \}_{j=0}^{n_l}</math>是<math>K_l</math>的覆盖。令<math>\delta_l</math>表示<math>K_l</math>到<math>\partial K_{l+1}</math>的距离，并择<math>\varepsilon_l>0</math>，小到对于<math>l\ge 1,\ \varepsilon_0<\delta_0/2</math>，都有<math>\varepsilon_l<{\rm min}\{\delta_l/2,\ \varepsilon_{l-1}\}</math>（<math>\varepsilon_l</math>是<math>\mathcal{W}_l</math>（作为<math>K_{l}</math>的开覆盖）与<math>\mathcal{W}_{l+1}</math>（作为<math>K_{l+1}</math>的开覆盖）的勒贝格数）。更确切地说，若<math>X\subset M</math>与<math>L_l</math>相遇（或<math>K_{l+1}</math>），且<math>{\rm diam} X<\varepsilon_l</math>，则''X''位于<math>\mathcal{W}_l</math>的某个元素中（或<math>\mathcal{W}_{l+1}</math>）。<math>\forall x\in K_l\diagdown{\rm int}K_{l-1}</math>，与紧情形一样构造<math>(U_x,\ \varphi_x)</math>，要求<math>\overline{U}_x</math>是<math>W_j</math>的紧子集，且<math>\forall j\le n_l,\ \varphi_x=\psi_j|U_x</math>。同时，要求<math>{\rm diam}\overline{U}_x<\varepsilon_l/2</math>。和之前一样，传递到<math>K_l\diagdown{\rm int}K_{l-1}</math>的有限子覆盖<math>\left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=n_{l-1} + 1}^{n_l}</math>（此处取<math>n_{-1}=0</math>。）这样就创造了规则叶状图册<math>\mathcal{U} = \left \{U_i,\varphi_i \right \}_{i=1}^{\infty}</math>，细化了<math>\mathcal{W}</math>并与<math>\mathcal{W}</math>相干。
|}

==叶状结构的定义==
根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过[[流形分解]]，得到
[[Image:Foliation definition.svg|400px|thumb|left|通过坐标函数<math>x:\ U\to\mathbb{R}^n</math>分解]]

'''定义''' ''n''维流形''M''的''p''-维<math>C^r</math>类叶状结构是将''M''分解为[[不交集|不交]]连通子流形<math>\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math>的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：''M''的点都有邻域''U''和局部<math>C^r</math>类坐标系<math>x=(x^1,\ \ldots,\ x^n):\ U\to \mathbb{R}^n</math>，使得对每片叶<math>L_{\alpha}</math>，<math>U\cap L_{\alpha}</math>的组分都由方程组<math>x^{p+1}=\text{常数},\ \ldots,\ x^n=\text{常数}</math>描述。则，叶状结构记作<math>\mathcal{F}=\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in A}.</math><ref name="Lawson">{{harvnb|Lawson|1974}}</ref>

叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，''n''维流形''M''的''p''维叶状结构<math>\mathcal{F}</math>也许可简单视作''M''的逐对不交、连通浸没的''p''维子流形（叶状结构的叶）的集合<math>\{M_a\}</math>，使得对点<math>\forall x\in M</math>，都有图<math>(U,\varphi)</math>，其中''U''同胚于<math>\mathbb{R}^n</math>，包含的''x''使得对每片叶<math>M_a</math>，与''U''相遇或为空集或为子空间的[[可数集]]，其在<math>\varphi (M_a \cap U)</math>中<math>\varphi</math>的像下是前n-p个坐标为常数的''p''维[[仿射空间|仿射子空间]]。

叶状结构局部上都是[[浸没 (数学)|浸没]]，允许下列定义

'''定义''' 令''M''、''Q''是''n''维流形，''q''≤''n''，并令<math>f:\ M\to Q</math>是浸没，即假设函数微分矩阵（[[雅可比矩阵]]）的秩为''q''，则据[[隐函数定理]]，''ƒ''在''M''上诱导了余维为''q''的叶状结构，其中的叶定义为<math>x\in Q,\ f^{-1}(x).</math><ref name="Lawson" />

这定义描述了''n''维流形''M''的''p''维叶状结构<math>\mathcal{F}</math>，是由[[图册#卡|图]]（chart）<math>U_i</math>与下列映射覆盖的：

:<math>\varphi_i:U_i \to \mathbb{R}^n</math>

这样，对重叠对<math>U_i,\ U_j</math>，[[图册#转移映射|转移函数]]<math>\varphi_{ij}:\ \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n</math>定义为

:<math>\varphi_{ij} =\varphi_j \varphi_i^{-1}</math>

形式为

:<math>\varphi_{ij}(x,y) = (\varphi_{ij}^1(x),\varphi_{ij}^2(x,y))</math>

其中''x''表示前<math>q=n-p</math>个坐标，''y''表示后''p''个坐标（co-ordinates），即

:<math>\begin{align}
\varphi_{ij}^1:{} &\mathbb{R}^q\to\mathbb{R}^q \\
\varphi_{ij}^2:{} &\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^p
\end{align}</math>
将转移函数<math>\varphi_{ij}</math>拆分为<math>\varphi_{ij}^1(x),\ \varphi_{ij}^2(x,y)</math>，作为浸没的一部分完全类似于将<math>\overline{g}_{\alpha \beta}</math>拆分为<math>\overline{y}_{\alpha} \left ( \overline{y}_{\beta} \right ),\ \overline{x}_{\alpha} \left ( \overline{x}_{\beta}, \overline{y}_{\beta} \right )</math>，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为''q''的规则叶状图册都与唯一的余维度为''q''的叶状结构<math>\mathcal{F}</math>相关联。<ref name="Foliations I p. 29"/>
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明<ref name="Foliations I p. 29"/>
|-
|
令<math>\mathcal{U} = \left \{U_a,\varphi_{\alpha} \right \}_{\alpha \in A}</math>是余维为''q''的规则叶状图册。在''M''上定义等价关系：''x'' ~ ''y''，当且仅当<math>\exists\mathcal{U}</math>-斑<math>P_0</math>使得<math>x,\ y\in P_0</math>，或有<math>\mathcal{U}</math>-斑的序列<math>L=\{P_0,\ P_1,\ \dots,\ P_p\}</math>使得<math>x \in P_0,\ y \in P_p,\ P_i \cap P_{i-1} \neq \varnothing \ (1\le i\le p)</math>成立。称序列''L''为连接''x''、''y''的长''p''的斑链。<math>x,\ y\in P_0</math>时，可以说<math>\{P_0\}</math>是连接''x''、''y''的长度为0的斑链。~是等价关系，这很清楚；同样明显的是，等价类''L''都是斑的并。由于<math>\mathcal{U}</math>-斑只能在彼此的开子集中相互重叠，所以''L''在局部是维度为n-q的拓扑浸入（immerse）子流形。斑<math>P\subset L</math>的开子集在''L''上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基，''L''在这拓扑中显然是连通的。要检验''L''是否为[[豪斯多夫空间]]也是平凡的，主要问题是要证明''L''[[第二可数空间|第二可数]]。由于斑都是第二可数的，所以对''L''只需证''L''中<math>\mathcal{U}</math>-斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑<math>P_0</math>，根据规则叶状图册的定义，其只与有限多个其他斑相遇。即，只有有限多长1的斑链<math>\{P_0,\ P_i\}</math>。归纳始于<math>P_0</math>的''p''长斑链，同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义，''L''中所有<math>\mathcal{U}</math>-斑都可通过始于<math>P_0</math>的有限斑链抵达，因此可得上述论断。

|}
正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ ''p''的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫''p''维[[子流形]]。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若<math>\mathcal{U},\ \mathcal{V}</math>是''M''上的叶状图册、且若<math>\mathcal{U}</math>与叶状结构<math>\mathcal{F}</math>相关联，则当且仅当<math>\mathcal{V}</math>也与<math>\mathcal{F}</math>相关联时，<math>\mathcal{U},\ \mathcal{V}</math>相干。<ref name="Foliations I p. 26"/>
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明<ref name="Foliations I p. 26"/>
|-
|
若<math>\mathcal{V}</math>也与<math>\mathcal{F}</math>相关联，则每片叶''L''都是<math>\mathcal{V}</math>-斑与<math>\mathcal{U}</math>-斑的并。这些斑在''L''的流形拓扑中是开子集，因此交于彼此的开子集。由于斑是连通的，所以不在同一片叶的<math>\mathcal{U}</math>-斑不能交<math>\mathcal{V}</math>-斑；因此叶状图册是相干的。反之，若只知道<math>\mathcal{U}</math>与<math>\mathcal{F}</math>相关联、<math>\mathcal{V} \approx \mathcal{U}</math>，令''Q''是<math>\mathcal{V}</math>-斑。若''L''是<math>\mathcal{F}</math>的叶，且<math>w\in L\cap Q\ (w\in P)</math>，令<math>P\in L</math>是<math>\mathcal{U}</math>-斑，则<math>P\cap Q</math>是''w''在''Q''中的开邻域，且<math>P\cap Q\subset L\cap Q</math>。由于<math>w\in L\cap Q</math>是任意的，可知<math>L\cap Q</math>是开的；由于''L''也是任意的叶，所以''Q''可分解为不交的开子集，每个都是''Q''与<math>\mathcal{F}</math>中某叶的交。又由于''Q''连通，<math>L\cap Q=Q.</math>最后，''Q''也是任意的<math>\mathcal{V}</math>-斑，所以<math>\mathcal{V}</math>与<math>\mathcal{F}</math>相关联。
|}
现在很明显，''M''上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了''M''的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，''M''上余维为''q''的<math>C^r</math>类叶状结构<math>\mathcal{F}</math>是余维为''q''的<math>C^r</math>类叶状图册的相干类。<ref name="Foliations I p. 31">{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=31}}</ref>据[[佐恩引理]]，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是，

'''定义''' ''M''上余维为''q''的<math>C^r</math>类叶状结构是''M''上余维为''q''的最大叶状<math>C^r</math>-图册。<ref name="Foliations I p. 31"/>

实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。

在图<math>U_i</math>中，条纹<math>x=\text{常数}</math>与别的图<math>U_j</math>上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大[[连通空间|连通]]单射[[子流形#浸入子流形|浸入子流形]]，就是叶状结构的'''叶'''（leaf）。
若缩小图<math>U_i</math>，可以写成<math>U_{ix}\times U_{iy}</math>，其中<math>U_{ix}\subset\mathbb{R}^{n-p},\ U_{iy}\subset\mathbb{R}^p.\ \ U_{}iy</math>与斑同构，<math>U_{ix}</math>的点参数化了<math>U_i</math>中的斑。若择<math>y_0\in U_{iy}</math>，则<math>U_{ix}\times\{y_0\}</math>是<math>U_i</math>的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部[[横截性 (数学)|横截]][[截面 (范畴论)|面]]。注意，由于[[单值性]]的原因，全局横截面可能不存在。

''r'' = 0的情形比较特殊。实践中出现的<math>C^0</math>叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的<math>C^{r,\ 0}</math>类：

'''定义''' 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册<math>\{U_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math>，使得坐标变换式
:<math>g_{\alpha \beta}(x_\beta, y_\beta) = ( x_\alpha( x_\beta, y_\beta), y_\alpha ( y_\beta)).</math>
属于<math>C^k</math>类，但<math>x_{\alpha}</math>在坐标<math>x_{\beta}</math>中是<math>C^r</math>类，其阶数≤&nbsp;''r''、与<math>x_{\beta}</math>的混合偏导数在坐标<math>(x_{\beta},\ y_{\beta}</math>中是<math>C^k</math>类，则称叶状结构<math>\mathcal{F}</math>属于<math>C^{r,\ k}\ (r>k\ge 0)</math>类。<ref name="Foliations I p. 31"/>

上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为<math>\mathbb{R}^q</math>的相对紧开子集，允许横坐标<math>y_{\alpha}</math>在更一般的拓扑空间''Z''中取值。斑仍是<math>\mathbb{R}^q</math>的相对紧开子集，横坐标公式<math>y_{\alpha}(y_{\beta})</math>的变化是连续的，<math>x_{\alpha}(x_{\beta},\ y_{\beta})</math>在坐标<math>x_{\beta}</math>中属于<math>C^r</math>类，其阶数 ≤&nbsp;''r'' 、与<math>x_{\beta}</math>的混合偏导数在坐标<math>(x_{\beta},\ y_{\beta})</math>中连续。一般要求''M''、''Z''为局部紧可测[[第二可数空间]]。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。<ref>{{harvnb|Candel|Conlon|2000|p=32}}</ref>

==完整性==
令<math>(M,\ \mathcal{F})</math>是叶状流形（foliated manifold）。设''L''是<math>\mathcal{F}</math>的叶，''s''是''L''中的路径，我们感兴趣的是''M''中''s''的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径''s''行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作''s''(''t'')）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近''L''；还有些可能会以接近平行的方式跟随''L''，或垂直地打转之类。若''s''是环路，则随着''t''增大，''s''(''t'')会反复回到同一个点''s''(''t''<sub>0</sub>)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。

完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。

===叶状丛===
最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是[[庞加莱映射]]概念的推广。
[[Image:Holonomy.svg|300px|thumb|left|横截面（cross section）''N''与第一回归映射（first return map）''f''，其中<math>M=S^1\times D^2,\ N=D^2.</math>]]
[[庞加莱映射|“第一回归映射”]]来自动力系统理论。令<math>\Phi_t</math>是紧''n''-流形上的非奇异<math>C^r\ (r\ge 1)</math>流。应用中，可以想象''M''是个[[回旋加速器]]或流体的闭合回路。若''M''有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构<math>\mathcal{F}</math>。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation）<math>\mathcal{F}</math>有向。假设流有全局横截面''N''，即''N''是''M''的n-1维紧正合嵌入的<math>C^r</math>子流形，叶状结构<math>\mathcal{F}</math>垂直于''N''，每条流线都与''N''相遇。由于''N''的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是
:<math>T_y (M) = T_y(\mathcal{F}) \oplus T_y(N) \text{ for each } y\in N.</math>

令<math>y\in N</math>，考虑''M''中所有序列<math>\left \{\Phi_{t_k}(y)\right\}_{k=1}^\infty</math>的所有堆积点的''ω''-[[极限集合]]ω(y)，其中<math>t_k</math>为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若<math>z = \lim_{k \rightarrow \infty} \Phi_{t_k} \in \omega(y),</math>则有值<math>t^*\in \mathbb{R}</math>使得<math>\Phi_{t^*}(z)\in N</math>，由此可得
:<math>\lim_{k \to \infty} \Phi_{t_k + t^\ast} (y) = \Phi_{t^\ast}(z) \in N.</math>
由于''N''是紧的，<math>\mathcal{F}</math>横截于''N''，因此集合<math>\{t>0|\Phi_t(y)\in N\}</math>是单调递增序列<math>\{\tau_k(y)\}_{k=1}^\infty</math>，并发散。

当<math>y\in N</math>变化，令<math>\tau(y)=\tau_1(y)</math>，这样定义一个正函数<math>\tau\in C^r(N)</math>（第一回归时间），使得<math>\forall y\in N,\ \Phi_t(y)\notin N,\ 0<t<\tau(y),\ \Phi_{\tau(y)}(y)\in N.</math>

定义<math>f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi_{\tau(y)}(y).</math>这是<math>C^r</math>映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的<math>f^{-1}</math>；所以<math>f\in {\rm Diff}^r(N)</math>。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作[[击中时|第一回归时间]]。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但''f''显然只取决于有向叶状结构<math>\mathcal{F}</math>。可以将流<math>\Phi_t</math>重参数化，使其保持非奇异、是<math>C^r</math>类，且方向不翻转，从而使<math>\tau\equiv 1.</math>

流有横截面N的假设是很受限的，意味着''M''是<math>S^1</math>上纤维丛的总空间。事实上在<math>\mathbb{R}\times N</math>上，可将<math>\sim_f</math>定义为以下条件生成的等价关系：
:<math>(t,y) \sim_f (t-1,f(y)).</math>
等价地，这是加法群'''Z'''在<math>\mathbb{R}\times N</math>上的作用的轨等价，定义如下
:<math>\forall k\in\mathbb{Z},\ \forall(t,\ y)\in\mathbb{R}\times N,\ k \cdot (t,y) = (t - k,f^k(y) ).</math>
''f''的映射圆柱定义为<math>C^r</math>流形
:<math>M_f = (\mathbb{R} \times N)/{\sim_f}.</math>
由第一回归映射''f''的定义与第一回归时间<math>\tau\equiv 1</math>的假设，可立即得出映射
:<math>\Phi : \mathbb{R} \times N \rightarrow M.</math>
流的定义可诱导一个规范<math>C^r</math>微分同胚
:<math>\varphi : M_f \rightarrow M.</math>
若记<math>M_f=M</math>，则<math>\mathbb{R}\times N</math>到'''R'''的投影诱导了<math>C^r</math>映射
:<math>\pi : M \rightarrow \mathbb{R} / \mathbb{Z} = S^1</math>
使''M''变为圆上[[纤维丛]]的总空间。这只是<math>S^1\times D^2</math>到<math>S^1</math>的投影。叶状结构<math>\mathcal{F}</math>横截于这丛的纤维，限制到每片叶''L''的丛投影π是覆盖映射<math>\pi:\ L\to S^1</math>，这就是叶状丛（foliated bundle）。

以<math>x_0\in S^1</math>的等价类<math>0+\mathbb{Z}</math>为基点，<math>\pi^{-1}(x_0)</math>就是原横截面''N''。对<math>S^1</math>上以<math>x_0</math>为基点的每个环路''s''，同伦类<math>[s]\in\pi_1(S^1,\ x_0)</math>的唯一特征是<math>{\rm deg}s\in\mathbb{Z}</math>。环路''s''提升到每条流线中的一条路径，很明显提升<math>s_y</math>始于<math>y\in N</math>、终于<math>f^k(y)\in N\ (k={\rm deg}s)</math>。微分同胚<math>f^k\in{\rm Diff}^r(N)</math>也用<math>h_s</math>表示，称作环路''s''的总整体性。由于只取决于[''s'']，因此定义了同胚
:<math>h : \pi_1(S^1,x_0) \rightarrow \operatorname{Diff}^{\,r}(N),</math>
称作叶状丛的总整体同胚。

更直观地运用纤维丛，令<math>(M,\ \mathcal{F})</math>是余维为''q''的叶状''n''-流形，令<math>\pi:\ M\to B</math>是纤维丛，具有''q''维纤维''F''与连通基空间''B''。假设所有这些结构都属于<math>C^r\ (0\le r\le \infty)</math>类，若''r'' = 0，''B''支持一个<math>C^1</math>结构。由于''B''上的最大<math>C^1</math>图册都包含<math>C^{\infty}</math>子图册，因此假设''B''如所期望那般光滑并不失一般性。最后，<math>\forall x\in B</math>，假设''x''有连通开邻域<math>U\subseteq B</math>，和局部平凡化
:<math>\begin{matrix}
\pi^{-1}(U) & \xrightarrow{\varphi} & U\times{F} \\
\scriptstyle{\pi} \Bigg\downarrow & {\qquad} & \Bigg\downarrow{\scriptstyle{p}} \\
U & \xrightarrow{\text{id}} & U
\end{matrix}
</math>
其中''φ''是<math>C^r</math>微分同胚（若''r'' = 0则是同胚），将<math display="inline"> \mathcal{F} \mid \pi^{-1}(U) </math>带到积叶状结构<math>\{U\times\{y\}\}_{y\in F}</math>。其中，<math display="inline"> \mathcal{F} \mid \pi^{-1}(U) </math>是叶为<math>L\cap\pi^{-1}(U)</math>的连通组分的叶状结构，''L''是<math>\mathcal{F}</math>的叶。这是<math>C^r</math>类“叶状丛”（foliated bundle）<math>(M,\ \mathcal{F},\ \pi)</math>的一般定义。

<math>\mathcal{F}</math>垂直于π的纤维（可以说<math>\mathcal{F}</math>是垂直于纤维的），π到<math>\mathcal{F}</math>的每片叶''L''的限制是覆盖映射<math>\pi:\ L\to B</math>。特别是，每条纤维<math>F_x=\pi^{-1}(x)</math>都与<math>\mathcal{F}</math>的每片叶相遇。纤维是<math>\mathcal{F}</math>的横截，与流的横截完全类似。

叶状结构<math>\mathcal{F}</math>横截于纤维不能保证叶是''B''的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是<math>\mathbb{R}^2</math>的一个叶状结构横截于纤维
:<math>\pi : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R},</math>
:<math>\pi(x,y) = x,</math>
但有无限多叶缺失了''y''轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于''x'' = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数<math>x\in B</math>接近某个<math>x_0\in B</math>，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶''L''，和一条连续路径<math>s:\ [0,\ a)\to L</math>使得<math>\lim_{t\to a-}\pi(s(t))=x_0\in B</math>，但<math>\lim_{t\to a-}s(t)</math>在''L''的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶''L''可能在别处与<math>\pi^{-1}(x_0)</math>相遇，但不能均匀覆盖<math>x_0</math>的邻域，因此不可能是''B''在π下的的覆盖空间。''F''是紧的时，<math>\mathcal{F}</math>对纤维的横截性确实保证了完备性，于是<math display="inline">(M,\mathcal{F},\pi)</math>是叶状丛。

''B''上有图册<math>\mathcal{U}=\{U_{\alpha},\ x_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math>，包含开连通坐标图，以及平凡化<math>\varphi_{\alpha}:\ \pi^{-1}(U_{\alpha})\to U_{\alpha}\times F</math>，将<math>\mathcal{F}|\pi^{-1}(U_{\alpha})</math>带到积叶状结构。置<math>W_{\alpha}=\pi^{-1}(U_{\alpha})</math>，并记<math>\varphi_{\alpha}=(x_{\alpha},\ y_{\alpha})</math>，其中（滥用符号）<math>x_{\alpha}</math>表示<math>x_{\alpha}\circ \pi,\ y_{\alpha}:\ \pi^{-1}(U_{\alpha})\to F</math>是将<math>\varphi_{\alpha}</math>与规范投影<math>U_{\alpha}\times F\to F</math>组合而得的浸没。

图册<math>\mathcal{W}=\{W_{\alpha},\ x_{\alpha},\ y_{\alpha}\}_{\alpha\in A}</math>的作用类似叶状图册。<math>W_{\alpha}</math>的斑是<math>y_{\alpha}</math>的水平集，这一族斑通过<math>y_{\alpha}</math>，与''F''相同。由于预设了''B''支持某个<math>C^{\infty}</math>结构，据[[怀特黑德定理]]，可在''B''上固定一个黎曼度量，择图册<math>\mathcal{U}</math>为测地凸的。于是，<math>U_{\alpha}\cap U_{\beta}</math>总是连通的。若这个交非空，则<math>W_{\alpha}</math>的每个斑都正好与<math>W_{\beta}</math>的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle）<math>\gamma = \left \{ \gamma_{\alpha \beta} \right \}_{\alpha,\beta \in A}</math> by setting
:<math>\gamma_{\alpha \beta} = y_\alpha \circ y_\beta^{-1} : F \rightarrow F.</math>

== 例子 ==
=== 平坦空间 ===

考虑''n''维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是<math>\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^{n-p}\times\mathbb{R}^p</math>，叶或斑<math>\mathbb{R}^p</math>由<math>\mathbb{R}^{n-p}</math>枚举。置''n'' = 3、''p'' = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。

=== 丛 ===
较平凡的叶状结构例子是积<math>M=B\times F</math>，叶<math>F_b=\{b\}\times F,\ b\in B</math>（''M''的另一个叶状结构由<math>B_f=B\times\{f\},\ f\in F</math>给出）。

对流形''F''而言，<math>G={\rm Homeo}(F)</math>的平坦''G''-丛是更一般的一类。给定[[表示 (数学)|表示]]<math>\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)</math>，具有单值ρ的平坦<math>{\rm Homeo}(F)</math>-丛由<math>M=\left(\widetilde{B}\times F\right)/\pi_1B</math>给出，其中<math>\pi_1(B)</math>通过[[覆疊空間|甲板变换]]作用于[[覆疊空間#萬有覆疊空間|万有覆盖]]<math>\widetilde{B}</math>，通过表示ρ作用于''F''。

平坦丛符合[[纤维丛]]的框架。若有流形''F''使得<math>\forall b\in B</math>，都有开邻域''U''使得有同胚<math>\varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi = p_1 \varphi,\ p_1:\ U\times F\to U)</math>（其中''p''<sub>1</sub>是到第一个因子的投影），则流形之间的映射<math>\pi:\ M\to B</math>是纤维丛。纤维丛产生了由纤维<math>F_b:=\pi^{-1}(\{b\}), b\in B</math>组成的叶状结构，其叶空间''L''与''B''同构，前者是豪斯多夫流形。

=== 覆盖 ===
若<math>M\to N</math>是流形间的覆盖映射，''F''是''N''上的叶状结构，则其拉回到''M''上的叶状结构。更一般地，若映射只是[[分歧覆盖]]（分歧[[轨迹 (数学)|轨迹]]横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。

===浸没===
若<math>M^n\to N^q,\ (q\le n)</math>是流形的[[浸没 (数学)|浸没]]，则据[[反函数定理]]，浸没的纤维的连通组分定义了''M''的余维为''q''的叶状结构。[[纤维丛]]是这种类型的一个例子。

不是纤维丛的浸没的一个例子是

:<math>\begin{cases} f:[-1,1]\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\f(x,y)=(x^2-1) e^y\end{cases}</math>

这种浸没产生了<math>[-1,\ 1]\times\mathbb{R}</math>的叶状结构，在下列<math>\mathbb{Z}</math>作用下是不变的：
: <math>z(x, y)= (x,y+n ), \quad \text{or} \quad z(x, y)=\left((-1)^nx, y\right)</math>
其中<math>(x,\ y)\in[-1,\ 1]\times\mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}</math>。<math>\mathbb{Z}\backslash([-1,\ 1]\times\mathbb{R})</math>的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。

=== 里布叶状结构 ===
定义一个潜没

:<math>\begin{cases} f:D^{n}\times \mathbb{R}\to \mathbb{R} \\ f(r,\theta,t):=(r^2-1)e^t\end{cases}</math>

其中<math>(r,\ \theta)\in[0,\ 1]\times S^{n-1}</math>是''n''维圆盘<math>D^n</math>上的圆柱坐标。这浸没产生了<math>D^n\times\mathbb{R}</math>的叶状结构，在如下'''Z'''作用下是不变的：

: <math>z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^n\times\mathbb{R},\ z\in\mathbb{Z})</math>

<math>\mathbb{Z}\backslash(D^n\times\mathbb{R})</math>的诱导叶状结构被称作''n''维[[里布叶状结构]]，其叶空间不是豪斯多夫的。

对于''n'' = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球<math>S^{2n+1}</math>的叶状结构也是明确已知的。<ref>{{cite journal |first=A.H. |last=Durfee |title=Foliations of Odd-Dimensional Spheres |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1972-09_96_2/page/407 |journal=Annals of Mathematics |series=Second Series |volume=96 |issue=2 |pages=407–411 |year=1972 |doi=10.2307/1970795 |jstor=1970795}}</ref>

=== 李群 ===
若''G''是[[李群]]、''H''是李子群，则''G''就会被''H''的[[陪集]]叶化。若''H''在''G''中[[闭集|闭合]]，则[[商空间]]<math>G/H</math>是光滑（[[豪斯多夫空间|豪斯多夫]]）流形，将''G''转化为纤维丛，纤维''H''、基为<math>G/H</math>。这个纤维丛实际上是[[主丛|主]]的，具有结构群''H''。

===李群作用===
令''G''是光滑作用于流形''M''的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则''G''的轨道定义了''M''的一个叶状结构。

===线性叶状结构与克罗内克叶状结构===
若<math>\tilde{X}</math>是非奇异（即无处为零）的向量场，则<math>\tilde{X}</math>定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点<math>x\in M</math>，由于<math>\tilde{X}</math>是非奇异的，所以可找到一个关于''x''的坐标邻域<math>(U,\ x^1,\ ,\ldots,\ x^n)</math>，使得
:<math>- \varepsilon < x^i < \varepsilon, \quad 1 \le i \le n,</math>
:<math>\frac{\partial}{\partial x^1} = \tilde{X}\mid U.</math>
从几何角度来看，<math>\tilde{X} \mid U</math>的流线就是水平集
:<math>x^i = c^i, \quad 2 \le i \le n,</math>
其中所有的<math>|c^i| < \varepsilon.</math>由惯例，流形是第二可数的，因此类似“长线”这样的叶异常现象会被''M''本身的第二可数性排除。要求<math>\tilde{X}</math>是完全域（例如''M''是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。
[[Image:Linear torus.png|250px|thumb|left|<math>\mathbb{R}^2</math>上的线性叶状结构<math>\mathcal{\tilde{F}}</math>传递到<math>T^2</math>上的叶状结构<math>\mathcal{F}</math>。 a) 斜率是有理的（线性叶状结构）； b) 斜率是无理的（克罗内克叶状结构）。]]
[[Image:Irrational_Rotation_on_a_2_Torus.png|250px|thumb|right|2-环面上的无理旋转]]
环面<math>T^2</math>上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。<math>\mathbb{R}^2</math>上的恒向量场
:<math>\tilde{X} \equiv \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}</math>
对<math>\mathbb{R}^2</math>中所有平移都不变，因此当投影到环面<math>T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2</math>时传递到良定义向量场''X''。假定''a'' ≠ 0。<math>\tilde{X}</math>产生的<math>\mathbb{R}^2</math>上的叶状结构<math>\mathcal{\tilde{F}}</math>的叶具有斜率为<math>\theta=b/a</math>的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到''X''产生的<math>T^2</math>上的叶状结构<math>\mathcal{F}</math>。

<math>\mathcal{\tilde{F}}</math>每片叶的形式是
:<math>\tilde{L} = \{(x_0 + ta,y_0 + tb)\}_{t \in \mathbb{R}}.</math>
若斜率是[[有理数|有理]]的，则所有叶都是与[[圆]][[同胚]]的闭合曲线。这时，可取<math>a,\ b\in\mathbb{Z}</math>。对固定的<math>t\in\mathbb{R}</math>，<math>\tilde{L}</math>中与<math>t\in t_0+\mathbb{Z}</math>的值对应的点都投影到<math>T^2</math>的同一点，于是<math>\mathcal{F}</math>对应的叶''L''是<math>T^2</math>中的嵌入圆。由于''L''是任意的，所以<math>\mathcal{F}</math>是<math>T^2</math>对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛<math>\pi:\ T^2\to S^1</math>，这就是所谓线性叶状结构。

若斜率是[[无理数|无理]]的，则叶是非紧的，同胚于非紧[[实线]]，在环面中[[稠密集|稠密]]（参[[无理旋转]]）。每个点<math>(x_0,\ y_0)</math>的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生“处处稠密”的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于[[利奥波德·克罗内克]]与

'''克罗内克稠密性定理''' 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合<math>\{e^{in\theta}|n\in\mathbb{Z}\}</math>在单位圆内稠密。
:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!证明
|-
|
首先注意，若<math>\mathcal{\tilde{F}}</math>的叶<math>\tilde{L}</math>不是一一投影到<math>T^2</math>，则一定有实数<math>t\neq 0</math>使得''ta''、''tb''都是整数。但这意味着<math>b/a\in\mathbb{Q}</math>。要证<math>\mathcal{F}</math>的叶''L''在<math>T^2</math>中都稠密，只需证明<math>\forall v\in\mathbb{R}^2</math>，<math>\mathcal{\tilde{F}}</math>的每片叶<math>\tilde{L}</math>与陪集<math>v+\mathbb{Z}^2</math>中的适当点间距都是任意小的正距离。<math>\mathbb{R}^2</math>中的适当平移使我们可以假设''v'' = 0，这样任务就简化为证明<math>\tilde{L}</math>任意地经过合适的点<math>(n,\ m)\in\mathbb{Z}^2</math>。线<math>\tilde{L}</math>具有斜截式
:<math>y = \theta x + c.</math>
因此，对于任意<math>\eta>0</math>，只要找到整数''n''、''m''使得
:<math>|\theta n + c - m| < \eta.</math>
等价地，<math>c\in\mathbb{R}</math>是任意的，就可以证明集合<math>\{\theta n-m\}_{m,\ n\in\mathbb{Z}}</math>在'''R'''中稠密。这实质上就是[[欧多克索斯]]关于θ与1不可通约（即θ无理）的标准。
|}
用平行线对<math>\mathbb{R}^n</math>进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的''n''-环面<math>\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n</math>的1维叶状结构。

=== 纬悬叶状结构 ===
平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为
: <math>L_f:= \left\{p\left(\tilde{b},f\right): \tilde{b}\in\widetilde{B}\right\}, \quad \mbox{ for }f\in F,</math>
其中<math>p:\ \widetilde{B}\times F\to M</math>是规范投影。这个叶状结构称作表示<math>\rho:\ \pi_1(B)\to{\rm Homeo}(F)</math>的纬悬。

具体地说，若<math>B=S^1</math>，<math>\varphi:F\to F</math>是''F''的同胚，则<math>\varphi</math>的纬悬叶状结构定义为表示<math>\rho:\ \mathbb{Z}\to{\rm Homeo}(F)</math>的纬悬叶状结构，由<math>\rho(z)=\Phi^z</math>给出。其叶空间是<math>L=\mathcal{F}/\sim</math>，其中只要对某个<math>n\in\mathbb{Z},\ y=\Phi^n(x),\ x\sim y</math>。

纬悬叶状结构最简单的例子是''q''维流形''X''。令<math>f:\ X\to X</math>是双射。将纬悬<math>M=S^1\times_f X</math>定义为<math>[0,\ 1]\times X</math>对等价关系<math>(1,\ x)\sim(0,\ f(x))</math>的商。
:<math>M=S^1\times_f X=[0,\ 1]\times X</math>
则，''M''自动携带两个叶状结构：<math>\mathcal{F}_2</math>包含<math>F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim}:\ x\in X\}</math>形式的集合；<math>\mathcal{F}_1</math>包含<math>F_{2,\ x_0}=\{(t,\ x):\ t\in[0,\ 1],\ x\in O_{x_0}\}</math>形式的集合，其中轨道<math>O_{x_0}</math>定义为
:<math>O_{x_0}=\{\ldots,\ f^{-2}(x_0),\ f^{-1}(x_0),\ x_0,\ f(x_0),\ f^2(x_0),\ \ldots\}</math>
其中指数指的是函数''f''与自身复合的次数。注意<math>O_{x_0}=O_{f(x_0)}=O_{f^{-2}(x_0)},\ {\rm etc.}</math>，对<math>F_{1,\ x_0}</math>也同样。理解叶状结构<math>\mathcal{F}_1</math>等效于理解映射''f''的动力学。若流形''X''已经叶化，则只要''f''是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。

2-环面的克罗内克叶状结构是旋转<math>R_{\alpha}:\ S^1\to S^1</math>（角度为<math>\alpha\in[0,\ 2\pi)</math>）的纬悬叶状结构。
[[Image:2-Hole Torus-cut.png|300px|thumb|left|切割重粘后，2-洞环面的纬悬。 a) 带待切割截面的双洞环面； b) 切割后带有4个面的几何图形。]]
更具体地说，若<math>\Sigma=\Sigma_2</math>是2洞环面，<math>C^1,\ C^2\in\Sigma</math>是两个嵌入圆，则<math>\mathcal{F}</math>是叶<math>\Sigma\times\{y\},\ y\in S^1</math>的3-流形的积叶状结构<math>M=\Sigma\times S^1</math>。注意<math>N_i=C_i\times S^1</math>是嵌入环，<math>\mathcal{F}</math>横截于<math>N_i,\ i=1,\ 2</math>。令<math>{\rm Diff}_{+}(S^1)</math>表示<math>S^1</math>的保向微分同胚群，并择<math>f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_{+}(S^1)</math>。将''M''沿<math>N_1,\ N_2</math>切开，<math>N_i^{+},\ N_i^{-}</math>表示它们的副本。这时，流形<math>M'=\Sigma'\times S_1</math>有4个边界分量<math>\left \{N_i^{\pm} \right \}_{i=1,2}.</math>叶状结构<math>\mathcal{F}</math>横截边界<math>\partial M'</math>的叶状结构<math>\mathcal{F^{\prime}}</math>，叶的形式为<math>\Sigma'\times\{y\},\ y\in S^1</math>。

这片叶在4个圆<math>C_i^{\pm} \times \{y\} \subset N_i^{\pm}</math>中与<math>\partial M'</math>相遇。若<math>z\in C_i</math>，则<math>C_i^{\pm}</math>中的对应点记作<math>z^{\pm}</math>，<math>N_i^{-}</math>通过下列标识，“回到”<math>N_i^{+}</math>：
:<math>(z^{-},y) \equiv (z^{+},f_i(y)), \quad i = 1,2.</math>
由于<math>f_1,\ f_2</math>是<math>S^1</math>的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于''M''。<math>\mathcal{F^{\prime}}</math>的叶则重新组合，产生''M''新的叶状结构<math>\mathcal{F}(f_1,\ f_2)</math>。若<math>\mathcal{F}(f_1,\ f_2)</math>的叶''L'' 包含一片<math>\Sigma'\times\{y_0\}</math>，则
:<math>L = \bigcup_{g \in G} \Sigma^{\prime} \times \{ g (y_0) \},</math>
其中<math>G\subset{\rm Diff}_+(S^1)</math>是由<math>\{f_1,\ f_2\}</math>生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连：
:<math>\forall z\in C_1,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_1(g(y_0)))</math>
:<math>\forall z\in C_2,\ (z^-,\ g(y_0))\equiv(z^+,\ f_2(g(y_0)))</math>

其中''g''在''G''上取值。叶完全由<math>y_0\in S^1</math>的''G''-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的''G''-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若''G''是平凡的<math>(f_1=f_2={\rm id}_{S^1})</math>，则<math>\mathcal{F}(f_1,\ f_2)=\mathcal{F}</math>。若轨道在<math>S^1</math>中是稠密的，则对应的叶在''M''中也稠密。例如，若<math>f_1,\ f_2</math>是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶''L''的闭包<math>\bar{L}</math>与每个因子<math>\{w\}\times S^1</math>在[[康托尔集]]中相遇。在<math>\Sigma\times I</math>上也可做类似构造，其中''I''是紧非退化区间。这里，取<math>f_1,\ f_2\in{\rm Diff}_+(I)</math>，由于<math>\partial I</math>通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以<math>\partial M</math>的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成''M' ''，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。

==叶状结构与可积性==
假设一切都[[光滑函数|光滑]]，那么[[向量场]]之间有一种密切关系：给定''M''上不为零的向量场''X''，其[[积分曲线]]将给出1维叶状结构（即余维为''n''-1的叶状结构）。

这观察可推广为[[弗罗贝尼乌斯定理]]，即分布（流形[[切丛]]的''n'' − ''p''维[[子丛]]）与叶状结构的叶相切的[[充分必要条件]]是，与分布相切的向量场集对[[李括号]]闭合。这也可以解释为，将[[切丛]]的结构群从<math>{\rm GL}(n)</math>约化为可约群。

弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为[[可积系统|可积条件]]出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范）<math>\alpha\in\Omega^1</math>（即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为<math>{\rm ker}(\alpha)</math>。若处处都有<math>\alpha\wedge{\rm d}\alpha=0</math>，则给定的α可积。

由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，[[曲面]]情形中，处处非零向量场只能存在于[[环面]]的[[可定向性|有向]][[紧空间|紧]]曲面上。这是[[庞加莱-霍普夫定理]]的结果，指出[[欧拉示性数]]需为0。其与[[切触几何]]有很多深层联系，专门研究不可积情形。

==叶状结构的存在==
{{harvtxt|Haefliger|1970}}给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。{{harvs|txt|last=Thurston|year1=1974|year2=1976}}证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。

==参看==
*[[弗罗贝尼乌斯定理]]
*[[G结构]]
*[[用叶状结构分类空间]]
*[[里布叶状结构]]
*[[紧叶状结构]](Taut foliation)
==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
{{refbegin|2}}
*{{eom|id=F/f040740|title=Foliation|first=D.V.|last= Anosov}}
*{{cite book| last1 = Candel
 | first1 = Alberto
 | last2 = Conlon
 | first2 = Lawrence
 | title = Foliations I
 | publisher = [[American Mathematical Society]]
 | series = Graduate Studies in Mathematics
 | volume = 23
 | date = 2000
 | location = Providence, Rhode Island
 | isbn = 0-8218-0809-5
}}
*{{cite book| last1 = Candel
 | first1 = Alberto
 | last2 = Conlon
 | first2 = Lawrence
 | title = Foliations II
 | publisher = [[American Mathematical Society]]
 | series = Graduate Studies in Mathematics
 | volume = 60
 | date = 2003
 | location = Providence, Rhode Island
 | isbn = 0-8218-0809-5
}}
*{{cite book
 | last = Gourgoulhon
 | first = Éric
 | title = 3+1 Formalism in General Relativity
 | publisher = [[Springer-Verlag|Springer]]
 | series = Lecture Notes in Physics
 | volume = 846
 | date = 2012
 | location = Heidelberg, New York, Dordrecht, London
 | url = http://relativite.obspm.fr/3p1
 | doi = 10.1007/978-3-642-24525-1
 | isbn = 978-3-642-24524-4
 | access-date = 2024-01-05
 | archive-date = 2023-09-22
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230922024917/https://relativite.obspm.fr/3p1/
 | dead-url = no
 }}
*{{Citation | last1=Haefliger | first1=André | title=Feuilletages sur les variétés ouvertes | doi=10.1016/0040-9383(70)90040-6   | mr=0263104  | year=1970 | journal=[[Topology (journal)|Topology]] | issn=0040-9383 | volume=9 | pages=183–194 | issue=2| doi-access= }}
*{{Citation | last1=Lawson | first1=H. Blaine | title=Foliations | url=https://www.ams.org/bull/1974-80-03/S0002-9904-1974-13432-4/ | doi=10.1090/S0002-9904-1974-13432-4  | mr=0343289  | year=1974 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=80 | pages=369–418 | issue=3| doi-access=free }}
*{{Citation | last1=Moerdijk | first1=Ieke | last2=Mrčun | first2=J. | title=Introduction to foliations and Lie groupoids | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-83197-0 | mr=2012261  | year=2003 | volume=91| author1-link=Ieke Moerdijk }}
*{{Citation | last1=Reeb | first1=Georges | title=Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées | publisher=Hermann & Cie., Paris | series=Actualités Sci. Ind., no. 1183 | mr=0055692  | year=1952}}
*{{Citation | last1=Thurston | first1=William | title=The theory of foliations of codimension greater than one | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en/dms/load/img/?IDDOC=213742 | mr=0370619 | year=1974 | journal=[[Commentarii Mathematici Helvetici]] | issn=0010-2571 | volume=49 | pages=214–231 | doi=10.1007/BF02566730 | s2cid=120603728 }}{{Dead link}}
*{{Citation | last1=Thurston | first1=William P. | author1-link=William Thurston | title=Existence of codimension-one foliations | jstor=1971047 | mr=0425985  | year=1976 | journal=[[Annals of Mathematics]] |series=Second Series | issn=0003-486X | volume=104 | issue=2 | pages=249–268 | doi=10.2307/1971047}}
{{refend}}

== 外部链接 ==
* [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Foliations Foliations] {{Wayback|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Foliations |date=20240420125933 }} at the Manifold Atlas

[[Category:流形上的结构]]
[[Category:微分拓扑学]]