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在[[数学]]中，'''右连左极函数'''（càdlàg，RCLL）是指定义在[[实数]]集或其[[子集]]上的处处右[[连续函数|连续]]且有左[[函数极限|极限]]的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的[[随机过程]]时很重要，这类随机过程不像[[布朗运动]]具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为'''斯科罗霍德空间'''（Skorokhod space）。

==定义==
[[File:Discrete probability distribution illustration.png|right|thumb|[[累积分布函数]]是右连左极函数的一个例子。]]
令<math>(M, d)</math>为[[度量空间]]，并令<math>E \subseteq \mathbb{R}</math>。函数<math>f : E \to M</math>称为'''右连左极函数'''。若对于每一<math>t \in E</math>，都有
* [[左极限]]<math>f(t-) := \lim_{s \uparrow t} f(s)</math>存在；且
* [[右极限]]<math>f(t+) := \lim_{s \downarrow t} f(s)</math>存在并等於<math>f(t)</math>，
即<math>f</math> 是右连续的且有左极限。

==例子==
* 全部连续函数都是右连左极函数。
* 由[[累积分布函数]]的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

==斯科罗霍德空间==
从<math>E</math>到<math>M</math>的所有右连左极函数的集合常记为<math>D(E; M)</math>或简记为<math>D</math>，称为'''斯科罗霍德空间'''，是以[[乌克兰]][[数学家]][[阿纳托利·斯科罗霍德]]（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个[[拓撲結構]]，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的[[一致收斂]]拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取<math>E = [0, T]</math>，<math>M = \mathbb{R}^{n}</math>（Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义[[连续性模]]的一个模拟<math>\varpi'_{f} (\delta)</math>。对於任意<math>F \subseteq E</math>，使

:<math>w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |</math>

且对於<math>\delta > 0</math>，将'''右连左极函数模'''（càdlàg modulus）定义为

:<math>\varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),</math>

其中[[最大下界]]对所有划分<math>\Pi = \{ 0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T \}</math>，<math>k \in \mathbb{N}</math>都存在，且<math>\max_{i} (t_{i} - t_{i - 1}) < \delta</math>。这一定义对於非右连左极函数<math>f</math>是有意义的（就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的）且可以说明<math>f</math>是右连左极函数[[当且仅当]]<math>\delta \to 0</math>时<math>\varpi'_{f} (\delta) \to 0</math>。

这是令<math>\Lambda</math>表示从<math>E</math>到自身的所有[[严格递减]]的连续[[双射]]函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

:<math>\| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |</math>

表示<math>E</math>上的函数的一致范数。将<math>D</math> 上的'''斯科罗霍德度量'''（Skorokhod metric）<math>\sigma</math>定义为

:<math>\sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},</math>

其中<math>I : E \to E</math>是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看，<math>\| \lambda - I \|</math>度量了“时间的蠕动”，而<math>\| f - g \circ \lambda \|</math>度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德[[度量]]度量的确是度量。由<math>\sigma</math>生成的拓扑<math>\Sigma</math>称为<math>D</math>上的'''斯科罗霍德拓扑'''（Skorokhod topology）。

==斯科罗霍德空间的性质==
===一致拓扑的一般化===
''E'' 上的连续函数空间''C'' 是''D'' 的一个[[子空間拓撲|子空间]]。相对应於''C'' 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

===完备性===
虽然''D'' 不是关於斯科罗霍德度量''σ'' 的一个[[完备空间]]，但是可以证明存在具完备性的关於''D'' 的[[度量#度量的等价性|拓扑等价度量]] ''σ''<sub>0</sub> 。

===分离性===
关於''σ'' 或''σ''<sub>0</sub> 的''D'' 是[[可分空间]]，因此斯科罗霍德空间是[[波蘭空間]]。

===斯科罗霍德空间中的胎紧性===
通过应用[[阿尔泽拉－阿斯科利定理]]，我们可以证明斯科罗霍德空间''D'' 上[[概率测度]]的一个序列<math>(\mu_{n})_{n = 1}^{\infty}</math>是[[测度的胎紧性|胎紧的]]当且仅当同时满足下列两个条件：

:<math>\lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \| f \| \geq a \} = 0,</math>

和

:<math>\lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n} \{ f \in D | \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.</math>

===代数结构与拓扑结构===
在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。

==参考文献==
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Probability and Measure | url=https://archive.org/details/probabilitymeasu0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1995 | isbn=0-471-00710-2}}
* {{cite book | author=Billingsley, Patrick | title=Convergence of Probability Measures | url=https://archive.org/details/convergenceofpro0000bill | publisher=John Wiley & Sons, Inc. | location=New York, NY | year=1999 | isbn=0-471-19745-9}}
[[Category:实分析]]
[[Category:随机过程]]
[[Category:函数]]