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[[控制理論]]中，'''可观测性格拉姆矩阵'''（Observability Gramian）是用來判斷線性[[動態系統]]是否[[可觀測性|可觀測]]的[[格拉姆矩阵]]。

若針對以下的線性時變系統

<math>\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)</math>

<math>y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) \,</math>

可观测性格拉姆矩阵為

<math>W_{o}(t_{0},t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\Phi^{T}(\tau,t_{0})C^{T}(\tau)C(\tau)\Phi(\tau,t_{0}) d\tau</math> ,

其中<math>\Phi</math>為[[狀態轉換矩陣]]

系統在<math>t\in[t_{0},t_{1}]</math>具有可觀測性，若且唯若<math>W_{o}(t_{0},t_{1})</math>為[[非奇異矩陣]]，

==連續時間，線性非時變系統==
若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可观测性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

<math>\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)</math>

<math>y(t) = C x(t) + D u(t) \,</math>

其可观测性格拉姆矩阵是以下<math>n\times n</math>的方陣 

<math>\boldsymbol{W_{o}}(t)=\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}\boldsymbol{C^{T}C}e^{\boldsymbol{A}\tau}d\tau</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值實部均為負），可观测性格拉姆矩阵也是以下[[李亞普諾夫方程]]的唯一解

<math>\boldsymbol{A^{T}}\boldsymbol{W}_{o}+\boldsymbol{W}_{o}\boldsymbol{A}=-\boldsymbol{C^{T}C}</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且<math>\boldsymbol{W}_{o}</math>也是[[正定矩陣]]，則此系統有可观测性。

==離散時間，線性非時變系統==
若考慮以下的離散時間系統

<math>\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}[k+1]\boldsymbol{=Ax}[k]+\boldsymbol{Bu}[k]\\
\boldsymbol{y}[k]=\boldsymbol{Cx}[k]+\boldsymbol{Du}[k]
\end{array}</math>

其離散可观测性格拉姆矩阵是以下<math>n\times n</math>的方陣 

<math>\boldsymbol{W}_{do}=\sum_{m=0}^{\infty}(\boldsymbol{A}^{T})^{m}\boldsymbol{C}^{T}\boldsymbol{C}\boldsymbol{A}^{m}</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

<math>W_{do}-\boldsymbol{A^{T}}\boldsymbol{W}_{do}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C^{T}C}</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且<math>\boldsymbol{W}_{do}</math>也是[[正定矩陣]]，則此系統有可观测性。

==參考資料==
*{{cite book|last=Chen|first=Chi-Tsong|title=Linear System Theory and Design Third Edition|year=1999|publisher=Oxford University Press|location=New York, New York|isbn=0-19-511777-8}}

==相關條目==
*[[可觀測性]]
*[[可控制性格拉姆矩阵]]
*[[格拉姆矩阵]]
*[[漢克爾奇異值]]

==外部連結==
*[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ObservabilityGramian.html Mathematica function to compute the observability Gramian] {{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ObservabilityGramian.html |date=20140330092130 }}

[[Category:控制理论]]