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[[控制理论]]中，'''可控制性格拉姆矩阵'''（Controllability Gramian）是用來判斷線性[[動態系統]]是否[[可控制性|可控制]]的[[格拉姆矩阵]]。

若針對以下的線性時變系統

<math>\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)</math>

<math>y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t) \,</math>

可控制性格拉姆矩阵為

<math>W_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\Phi(\tau,t_{0})B(\tau)B^{T}(\tau)\Phi^T(\tau,t_{0}) d\tau</math> ,

其中<math>\Phi</math>為[[狀態轉換矩陣]]

系統在<math>t\in[t_{0},t_{1}]</math>具有可控制性，若且唯若<math>W_{c}(t_{0},t_{1})</math>為[[非奇異矩陣]]。

== 連續時間，線性非時變系統 ==
若在連續時間的線性非時變系統中，也可以定義可控制性格拉姆矩阵（不過也有其他判斷可观测性的方法）。

若考慮以下的系統

<math>\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)</math>

<math>y(t) = C x(t) + D u(t) \,</math>

其可控制性格拉姆矩阵是以下<math>n\times n</math>的方陣 

<math>\boldsymbol{W_{c}}(t)=\int_{0}^{t}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值實部均為負），可控制性格拉姆矩阵也是以下[[李亞普諾夫方程]]的唯一解

<math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值實部均為負），而且<math>\boldsymbol{W}_{c}</math>也是[[正定矩陣]]，則此系統具有可控制性，也就是<math>(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})</math>矩陣對具有可控制性。

此一定義也和以下其他可控制性的定義等效：

1. <math>n\times np</math>的可控制性矩陣

<math>{\mathcal{C}}=[\begin{array}{ccccc}
\boldsymbol{B} & \boldsymbol{AB} & \boldsymbol{A^{2}B} & ... & \boldsymbol{A^{n-1}B}\end{array}]</math>

的秩為n。

2. <math>n\times(n+p)</math>矩陣

<math>[\begin{array}{cc}
\boldsymbol{A}\boldsymbol{-\lambda}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{B}\end{array}] </math>

對於每個<math>\boldsymbol{A}</math>的特徵值<math>\lambda</math>，都有滿秩。

== 和李亞普諾夫方程的關係 ==

可控制性格拉姆矩陣是以下[[李亞普諾夫方程]]的解

<math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}</math>

假若令

<math>\boldsymbol{W_{c}}=\int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau</math>

為一個解，可得：

<math>\begin{array}{ccccc}
\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}} & = & \int_{0}^{\infty}\boldsymbol{A}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}d\tau & + & \int_{0}^{\infty}e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau}\boldsymbol{A^{T}}d\tau\\
 & = & \int_{0}^{\infty}\frac{d}{d\tau}(e^{\boldsymbol{A}\tau}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}\tau})d\tau & = & e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{B}\boldsymbol{B}^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}|_{t=0}^{\infty}\\
 & = & \boldsymbol{0}-\boldsymbol{BB^{T}}\\
 & = & \boldsymbol{-BB^{T}}
\end{array}</math>

其中用到了對於穩定<math>\boldsymbol{A}</math>，在<math>t=\infty</math>時，<math>e^{\boldsymbol{A}t}=0</math>的事實（所有的特徵值實部均為負），因此<math>\boldsymbol{W}_{c}</math>確實是李亞普諾夫方程的解。

=== 格拉姆矩陣的性質 ===

因為 <math>\boldsymbol{BB^{T}}</math> 是對稱矩陣，因此<math>\boldsymbol{W}_{c}</math>也是對稱矩陣。

若<math>\boldsymbol{A}</math>是穩定矩陣（所有的特徵值實部均為負），可以證明<math>\boldsymbol{W}_{c}</math>是唯一的。利甪反證法，先假設以下方程有二個不同解

<math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{c}+\boldsymbol{W}_{c}\boldsymbol{A^{T}}=-\boldsymbol{BB^{T}}</math>

分別是<math>\boldsymbol{W}_{c1}</math>和<math>\boldsymbol{W}_{c2}</math>，因此可得：

<math>\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{0}</math>

在左右分別乘以<math>e^{\boldsymbol{A}t}</math>和<math>e^{\boldsymbol{A}^{T}t}</math>，可得：

<math>e^{\boldsymbol{A}t}[\boldsymbol{A}\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})+\boldsymbol{(W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})\boldsymbol{A^{T}}]e^{\boldsymbol{A^{T}}t}=\frac{d}{dt}[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]=\boldsymbol{0}</math>

從<math>0</math>積分到<math>\infty</math>：

<math>[e^{\boldsymbol{A}t}[(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})e^{\boldsymbol{A^{T}}t}]|_{t=0}^{\infty}=\boldsymbol{0}</math>

再利用此一事實，當<math>t\rightarrow\infty</math>時，<math>e^{\boldsymbol{A}t}\rightarrow0</math>：

<math>\boldsymbol{0}-(\boldsymbol{W}_{c1}-\boldsymbol{W}_{c2})=\boldsymbol{0}</math>

因此，<math>\boldsymbol{W}_{c}</math>是唯一的。

也可以看出

<math>\boldsymbol{x^{T}W_{c}x}=\int_{0}^{\infty}\boldsymbol{x}^{T}e^{\boldsymbol{A}t}\boldsymbol{BB^{T}}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}dt=\int_{0}^{\infty}\left\Vert \boldsymbol{B^{T}e^{\boldsymbol{A}^{T}t}\boldsymbol{x}}\right\Vert _{2}^{2}dt</math>

在任何t時都為正，因此<math>\boldsymbol{W}_{c}</math>是正定矩陣。

可控制性系統的其他特性在<ref>{{cite book|last=Chen|first=Chi-Tsong|title=Linear System Theory and Design Third Edition|year=1999|publisher=Oxford University Press|location=New York, New York|isbn=0-19-511777-8|page=145}}</ref>中，以及[[可控制性]]中都有描述。

== 離散時間，線性非時變系統 ==
若考慮以下的離散時間系統

<math>\begin{array}{c}
\boldsymbol{x}[k+1]\boldsymbol{=Ax}[k]+\boldsymbol{Bu}[k]\\
\boldsymbol{y}[k]=\boldsymbol{Cx}[k]+\boldsymbol{Du}[k]
\end{array}</math>

其離散可控制性格拉姆矩阵是以下<math>n\times n</math>的方陣 

<math>\boldsymbol{W}_{dc}=\sum_{m=0}^{\infty}\boldsymbol{A}^{m}\boldsymbol{BB}^{T}(\boldsymbol{A}^{T})^{m}</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），也是以下離散李亞普諾夫方程的解

<math>W_{dc}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{W}_{dc}\boldsymbol{A^{T}}=\boldsymbol{BB^{T}}</math>

<math>\boldsymbol{A}</math>若穩定（所有的特徵值絕對值均小於1），而且<math>\boldsymbol{W}_{dc}</math>也是[[正定矩陣]]，則此系統有可控制性。

更多相關的性質及證明在<ref>{{cite book|last=Chen|first=Chi-Tsong|title=Linear System Theory and Design Third Edition|year=1999|publisher=Oxford University Press|location=New York, New York|isbn=0-19-511777-8|page=169}}</ref>。

== 線性時變系統（LTV） ==
考慮以下的線性時變系統（LTV）：

<math>\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{x}}(t)\boldsymbol{=A}(t)\boldsymbol{x}(t)+\boldsymbol{B}(t)\boldsymbol{u}(t)\\
\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{C}(t)\boldsymbol{x}(t)
\end{array}</math>

其中矩陣<math>\boldsymbol{A}</math>, <math>\boldsymbol{B}</math>和<math>\boldsymbol{C}</math>的元素會隨時間而變化。其可控制性格拉姆矩陣為<math>n\times n</math>矩陣，定義如下：

<math>\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\int_{_{0}}^{^{\infty}}\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{B}(\tau)\boldsymbol{B}^{T}(\tau)\boldsymbol{\Phi}^{T}(t_{1},\tau)d\tau</math>

其中<math>\boldsymbol{\Phi}(t,\tau)</math>為<math>\boldsymbol{\dot{x}}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}</math>的狀態轉移矩陣。

系統<math>(\boldsymbol{A}(t),\boldsymbol{B}(t))</math>有可控制性的充份必要條是存在<math>t_{1}>t_{0}</math>，使得可控制性格拉姆矩陣<math>\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})</math>為非奇異矩陣。

=== 格拉姆矩陣的性質 ===
可控制性格拉姆矩陣<math>\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})</math>有以下的性質：

<math>\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t)+\boldsymbol{\Phi}(t,t_{0})\boldsymbol{W}_{c}(t,t_{0})\boldsymbol{\Phi}^{T}(t,t_{0})</math>

可以由<math>\boldsymbol{W}_{c}(t_{0},t_{1})</math>的定義，以及以下的狀態轉移矩陣性質來推導：

<math>\boldsymbol{\Phi}(t_{0},t_{1})=\boldsymbol{\Phi}(t_{1},\tau)\boldsymbol{\Phi}(\tau,t_{0})</math>

其他有關可控制性格拉姆矩陣的性質可以參考<ref>{{cite book|last=Chen|first=Chi-Tsong|title=Linear System Theory and Design Third Edition|year=1999|publisher=Oxford University Press|location=New York, New York|isbn=0-19-511777-8|page=176}}</ref>。

== 相關條目 ==
* [[可控制性]]
* [[可观测性格拉姆矩阵]]
* [[格拉姆矩阵]]
* [[最小能量控制]]

==參考資料==
{{Reflist}}

==外部連結==
*[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ControllabilityGramian.html Mathematica function to compute the controllability Gramian] {{Wayback|url=http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/ControllabilityGramian.html |date=20140328173137 }}

[[Category:控制理论]]