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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-hant:變數;zh-hans:变量;zh:换元;zh-tw:代換
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{{main|分離變數法}}
'''可分離變數的偏微分方程'''（PDE）是指一種[[偏微分方程]]，在求解時可以用[[分離變數法]]分離為一組階數較低的[[微分方程]]。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是[[對稱]]。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成[[常微分方程]]。

分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積，而每個函數只有一個自變數。例如給予一個 <math>n</math> 元函數 <math> F(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n)</math> 的[[偏微分方程]]，猜想解答的形式為
:<math> F = F_1(x_1) F_2(x_2) \cdots F_n(x_n) </math> 。

這是一種特別的分離變數法，稱為<math>R</math>-分離變數法，此方式是將解寫成和座標有關的固定函數，以及以各座標為自變數函數的乘積。<math>{\mathbb R}^n</math>上的拉普拉斯方程是一個可以用<math>R</math>-分離變數法求解的偏微分方程的例子，在三維空間下會用{{le|六維球面座標轉換|6-sphere coordinates}}來求解。

偏微分方程的分離變數法和常微分方程的[[分離變數法]]不同，後者是指問題可以變成二個[[積分]]相等的形式。

==範例==

例如，考慮非時變的[[薛丁格方程]]

:<math>[-\nabla^2 + V(\mathbf{x})]\psi(\mathbf{x}) = E\psi(\mathbf{x})</math>

針對函數<math>\psi(\mathbf{x})</math>（為簡化問題，其為無因次量）（等效的作法是考慮非齊次的[[亥姆霍兹方程]]）。若三維函數<math>V(\mathbf{x})</math>形式如下

:<math>V(x_1,x_2,x_3) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + V_3(x_3),</math>

則此問題可以分解為三個一維的常微分方程，函數分別是<math>\psi_1(x_1)</math>、<math>\psi_2(x_2)</math>及<math>\psi_3(x_3)</math>，最後的解可以寫成<math>\psi(\mathbf{x}) = \psi_1(x_1) \cdot \psi_2(x_2) \cdot \psi_3(x_3)</math>。（薛丁格方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列舉<ref>L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," ''Phys. Rev.'' '''74''', 87-89 (1948).</ref>）。

== 參考資料 ==
{{reflist}}

[[Category:微分方程]]