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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-hant:變數;zh-hans:变量;zh:换元;zh-tw:代換
}}
{{main|分離變數法}}
<math></math>'''可分离变量的微分方程'''也叫做'''变量分离方程'''，指的是形如
<math>\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)</math>的方程.
==等价定义==
可化为<math>g(y)dy=f(x)dx</math>的方程，称为'''可分离变量的微分方程'''.
==一般解法(求通解)==
[[分离变量法]]：

对<math>\frac{dy}{dx}=f(x)\varphi(y)</math>，若<math>\varphi(y)\neq 0</math>则
<math>\frac{dy}{\varphi(y)}=f(x)dx</math>，两边取不定积分，得
<math>\int \frac{dy}{\varphi(y)}=\int f(x)dx\, +c</math>，这里<math>\int \frac{dy}{\varphi(y)}</math>和<math>\int f(x)dx\,</math>理解为某个确定的原函数，<math>c</math>为任意常数.

对<math>g(y)dy=f(x)dx</math>也是一样的解法.

==初值问题（求特解）==
1.不定积分法

以<math>g(y)dy=f(x)dx</math>为例，若给初始条件<math>y\mid_{x=x_0}=y_0</math>,则对<math>g(y)dy=f(x)dx</math>两边取不定积分，得

<math>\int g(y)dy=\int f(x)dx+c</math>,将初始条件代入,求得

<math>c=c_0</math>,再代回原方程即得所要求的特解<math>F(x,y)</math>.


2.变上限积分法

仍以<math>g(y)dy=f(x)dx</math>为例，若给初始条件<math>y\mid_{x=x_0}=y_0</math>,对<math>g(y)dy=f(x)dx</math>两边取不定积分，得

<math>G(y)=F(x)+c</math>,其中<math>G(y),F(x)</math>分别为<math>g(y),f(x)</math>的一个原函数，代入初始条件，有

<math>G(y_0)=F(x_0)+c\Rightarrow c=G(y_0)-F(x_0)</math>,代回原方程得特解为<math>G(y)=F(x)+G(y_0)-F(x_0)</math>,即

<math>G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0)</math>,根据牛顿—莱布尼茨公式，可知

<math>\int_{y_0}^{y} g(u)du=\int_{x_0}^{x}f(v)dv</math>,在不混淆的时候，可写为

<math>\int_{y_0}^{y} g(y)dy=\int_{x_0}^{x}f(x)dx</math>.


所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.


若又给条件<math>y\mid_{x=x_1}=y_1</math>,将此条件代入<math>G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0)</math>,得

<math>G(y_1)-G(y_0)=F(x_1)-F(x_0)</math>,即

<math>\int_{y_0}^{y_1} g(y)dy=\int_{x_0}^{x_1}f(x)dx</math>.
==参考资料==
1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学（第六版）》同济大学 

3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系

[[Category:微分方程]]