可分离变量的微分方程

Template:NoteTA Template:Main ${\displaystyle }$可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如 $\frac{dy}{dx}=f(x)\phi (y)$的方程.

等价定义

可化为$g(y)dy=f(x)dx$的方程，称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)

分离变量法：

对$\frac{dy}{dx}=f(x)\phi (y)$，若$\phi (y)\ne 0$则 $\frac{dy}{\phi (y)}=f(x)dx$，两边取不定积分，得 $\int \frac{dy}{\phi (y)}=\int f(x)dx+c$，这里$\int \frac{dy}{\phi (y)}$和$\int f(x)dx$理解为某个确定的原函数，$c$为任意常数.

对$g(y)dy=f(x)dx$也是一样的解法.

初值问题（求特解）

1.不定积分法

以$g(y)dy=f(x)dx$为例，若给初始条件$y{\mid }_{x=x_0}=y_0$,则对$g(y)dy=f(x)dx$两边取不定积分，得

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$,将初始条件代入,求得

$c=c_0$,再代回原方程即得所要求的特解$F(x,y)$.

2.变上限积分法

仍以$g(y)dy=f(x)dx$为例，若给初始条件$y{\mid }_{x=x_0}=y_0$,对$g(y)dy=f(x)dx$两边取不定积分，得

$G(y)=F(x)+c$,其中$G(y),F(x)$分别为$g(y),f(x)$的一个原函数，代入初始条件，有

$G(y_0)=F(x_0)+c\Rightarrow c=G(y_0)-F(x_0)$,代回原方程得特解为$G(y)=F(x)+G(y_0)-F(x_0)$,即

$G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0)$,根据牛顿—莱布尼茨公式，可知

$\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}g(u)du=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(v)dv$,在不混淆的时候，可写为

$\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}g(y)dy=\underset{x_0}{\overset{x}{\int }}f(x)dx$.

所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.

若又给条件$y{\mid }_{x=x_1}=y_1$,将此条件代入$G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0)$,得

$G(y_1)-G(y_0)=F(x_1)-F(x_0)$,即

$\underset{y_0}{\overset{y_1}{\int }}g(y)dy=\underset{x_0}{\overset{x_1}{\int }}f(x)dx$.

参考资料

1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学（第六版）》同济大学

3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系