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'''古埃及的分數'''是不同的[[單位分數]]的和，就是分子為1，分母為各不相同的正整數。任何正[[有理數]]都能表達成這一個形式。

==構造==
古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個算法總是給出最短的形式。
===貪婪演算法===
{{main|貪婪演算法}}
贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。
例如：

<math>\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}  </math>。共2项，是第一种好算法，比<math>\frac{2}{7} = \frac{1}{5} + \frac{1}{20} + \frac{1}{28} </math>的项数要少。

又例如，
<math>\frac{5}{121} = \frac{1}{33} + \frac{1}{121} + \frac{1}{363} </math>比
<math>\frac{5}{121} = \frac{1}{25} + \frac{1}{759} + \frac{1}{208725} </math>
的最大分母要小，所以是第二种好算法。

#找出僅小於<math>r = \frac{a}{b}</math>的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是：即用<math>b</math>除以<math>a</math>，捨去餘數，再加1。（如果沒有餘數，則<math>r</math>已是單位分數。）
#把<math>r</math>減去單位分數，以這個新的、更小的''<math>r</math>''重複步驟1。

例子：把<math>\frac{19}{20}</math>轉成單位分數。

* <math>\lfloor 20 \div 19\rfloor = 1</math>，所以第1個單位分數是<math>\frac{1}{2}</math>；
* <math>\frac{19}{20} - \frac{1}{2} = \frac{9}{20}</math>；
* <math>\lfloor 20 \div 9\rfloor = 2</math>，所以第2個單位分數是<math>\frac{1}{3}</math>；
* <math>\frac{9}{20} - \frac{1}{3} = \frac{7}{60}</math>；
* <math>\lfloor 60 \div 7\rfloor = 8</math>，所以第3個單位分數是<math>\frac{1}{9}</math>；
* <math>\frac{7}{60} - \frac{1}{9} = \frac{1}{180}</math>已是單位分數。

所以結果是：
: <math>\frac{19}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{180}</math>。

[[詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特]]和[[斐波那契]]都提出過以上的方法。

===Golomb算法===
這個算法是基於[[貝祖等式]]的：當<math>a</math>,<math>b</math>互質，<math>ax - by = 1</math>有無窮多對正整數解<math>(x,y)</math>。

選取最小的正整數解<math>(m,n)</math>。取單位分數分母為<math>bm</math>，重複步驟。

以<math>\frac{7}{10}</math>為例：
* <math>7 \times 3- 10 \times 2 = 1</math> ，所以第1個單位分數是<math>\frac{1}{30}</math>；
* <math>2 \times 2 - 3 \times 1 = 1</math>，所以第2個單位分數是<math>\frac{1}{6}</math>；
*第3個單位分數是<math>\frac{1}{2}</math>。

===二進制===
最基本的方法就是將[[分數]]寫成[[二進制]]數，便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。

換個說法就是重複求最小的正整數<math>n</math>使得<math>\frac{x}{y}>\frac{1}{2^n}</math>。

這個方法的效率很低。

一個改善之道是選取正整數<math>n</math>使得<math>(2^n \times x) \bmod y < 2^{n+1}</math>。選取適當的正整數<math>r,s</math>（<math>r < y</math>）使得<math>2^n \times x=sy+r</math>。<math>\frac{x}{y} = \frac{s}{2^n} + \frac{r}{2^n \times y}</math>。將<math>\frac{s}{2^n} , \frac{r}{2^n}</math>寫成二進制數。

例如：
<math>\frac{18}{23}</math>：
* <math>(4 \times 18) \bmod 23 < 8</math>，<math>4 \times 18 = 23 \times 3 + 3</math>
* <math>\frac{18}{23} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4 \times 23}</math>
* <math>\frac{3}{4} = 0.15 = \frac{1}{2}+\frac{1}{4}</math>
* <math>\frac{18}{23} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \times 23} + \frac{1}{4 \times 23}</math>

===分拆===
將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同，可以用以下其中一種處理方式：

#若它們的分母是雙數，便用它們的和取代；若它們的分母是單數，設它們的分母為<math>2k-1</math>，用<math>\frac{1}{k}+\frac{1}{(2k-1)k}</math>取代。
#設它們的分母為<math>p</math>，用<math>\frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)p}</math>取代。
或是<math>\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}</math>←<math>n</math>可等於任意正整數

<math>\frac{1}{n}</math>表示成为一个级数形式：

<math>\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{3}}+\frac{1}{(n+1)^{4}}+...+\frac{1}{(n+1)^{k}}+\frac{1}{n(n+1)^{k}}</math>

===Engel展開式===
*參看[[Engel展開式]]。方法類同於貪心法

==歷史==
[[File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg|thumb|300px|莱因德数学纸草书]] 
數學史家有時論述[[代數]]的發展分為三個基本階段：

#文字代數：其問題以古代數學家所用的文字表述；
#省文代數：簡化問題中一些字詞，以幫助理解；
#符號代數：以符號代表運算符和運算元，使更容易理解。

未知數以符號形式通常記為。我們從[[古埃及]]文稿得知，埃及[[祭司]]和書記採用文字代數的方式，以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。

這是現存在倫敦的[[大英博物館]]的[[萊因德數學紙草書]]（[[第二中間期]]）所載，其中一個阿哈問題的翻譯：

「問題24： 一個數量和它的<math>\frac{1}{7}</math>加起來是19。這數量是什麼？」

「假設是7。7和7的<math>\frac{1}{7}</math>是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」

以現在的符號形式，<math>x + \frac{x}{7} = \frac{8x}{7} = 19</math>，故此<math>{x}= \frac{133}{8}</math>。檢查： <math>\frac{133}{8} + \frac{133}{7 \times 8} =  \frac{133}{8} + \frac{19}{8} =  \frac{152}{8} = 19</math>。

注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算，如<math>\frac{1}{2}, \frac{1}{3} ,\frac{1}{4}, \frac{1}{10}</math>。

一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號，這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。

== 参见 ==
*[[丢番图方程]]
*[[单位分数]]
*[[歐德斯-史特勞斯猜想]]

{{reflist}}

==外部链接==

{{Fractions and ratios}}

[[Category:数论|G]]
[[Category:算术|G]]
[[Category:分数]]
[[Category:埃及数学]]