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'''变分'''是在應用[[數學]]與[[變分法]]中[[泛函]]应对与[[函数]]中的[[微分]]使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。<ref>{{Cite book|title=最优控制理论与应用|last=吴|first=受章|publisher=|year=|isbn=|location=|pages=}}</ref>
==函数的变分==
设极值曲线为<math>\hat{y}=\hat{y}(x)</math>，可取曲线为<math>y=y(x)</math>。定义<math>\delta{y}=\hat{y}-y</math>为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得<math>\delta{y'}=\hat{y}'-y'</math>

对隐函数<math>\varphi(x,y)=0</math>，其一次变分即为全微分：<math>{\delta}{\varphi} =\delta y \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}+\delta x \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}}</math>。由于x无增量，即<math>\delta x=0</math>，故有<math>{\delta}{\varphi} =\delta y \frac{\partial{\varphi}}{\partial{y}}</math>。

== 泛函的变分==
对泛函<math>\underset{y}\min{J(y)}=\int_{x_0}^{x_1} F(x,y(x),y'(x)) dx</math>，

可得<math>J(\hat y)-J(y)=\int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' )dx+O(\delta y)</math>，其一次变分是其[[Taylor级数]]的一次项，即<math>\delta J = \int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' )dx</math>，或直接定義一次变分為 <math>\delta J(y, h)= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}\,</math> 。

故其二次变分为其Taylor级数的二次项，即<math>\delta^2 J= \frac{1}{2}\int_{x_0}^{x_1} (\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}(\delta y)^2+\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial y'}\delta y\delta y'+\frac{\partial^2 F}{\partial y'^2}(\delta y')^2 )dx</math>。

需要注意，与二阶微分<math>d^2y=d(dy)</math>不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。
=== 實例 ===
計算 <math>J(y)=\int_a^b yy' dx\,</math>的一次變分？

<TABLE>
<TR ALIGN="LEFT"><TD><math>\delta J(y, h)\,</math></TD><TD><math>= \frac{d}{d\varepsilon} J(y + \varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math></TD>
<TR ALIGN="LEFT"><TD></TD><TD><math>= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (y + \varepsilon h)(y^\prime + \varepsilon h^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math></TD>
<TR ALIGN="LEFT"><TD></TD><TD><math>= \frac{d}{d\varepsilon} \int_a^b (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math></TD>
<TR ALIGN="LEFT"><TD></TD><TD><math>= \int_a^b \frac{d}{d\varepsilon} (yy^\prime + y\varepsilon h^\prime + y^\prime\varepsilon h + \varepsilon^2 hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math></TD>
<TR ALIGN="LEFT"><TD></TD><TD><math>= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h + 2\varepsilon hh^\prime) \ dx\left.\right|_{\varepsilon = 0}</math></TD>
<TR ALIGN="LEFT"><TD></TD><TD><math>= \int_a^b (yh^\prime + y^\prime h) \ dx</math></TD>
</TABLE>

==参见==
* [[泛函]]
* [[变分法]]
*[[控制论]]

== 参考文献 ==
=== 脚注 ===
<references />
=== 外链 ===
*[http://www.exampleproblems.com Exampleproblems.com]{{Wayback|url=http://www.exampleproblems.com/ |date=20200908224319 }}有更多計算泛函一次變分的實例。

[[Category:泛函分析|F]]
[[Category:变分法]]