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{{not|可反證性}}

'''反证法'''<ref>https://terms.naer.edu.tw/detail/b6c4105c64165755ca6ac0f69d871c71/?seq=1</ref>（{{lang-en|proof by contradiction}}）又称'''背理法'''，是一种[[论证]]方式，他首先假设某[[命题]]成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

反证法与[[归谬法]]相似，但归谬法不仅包括推理出[[矛盾]]结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

==理據==
給出命題 <math>p</math> 和命題 <math>\bar{p}</math>（非 <math>p</math>），根據[[排中律]]，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以如果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題 <math>q</math> 和命題 <math>\bar{q}</math>（非 <math>q</math>），根據[[無矛盾律]]，兩者同時為真的情況為假。給出命題 <math>\bar{p}</math> 和 <math>r</math>，根據[[否定後件|否定後件律]]，如果若 <math>\bar{p}</math> 成立時出現 <math>r</math>，則 <math>r</math> 為假時 <math>\bar{p}</math> 即為假。反證法在要證明 <math>p</math> 時，透過顯示出若 <math>\bar{p}</math> 成立時出現矛盾（<math>q</math> 和 <math>\bar{q}</math>），即 <math>\bar{p}</math> 為假，從而證明 <math>p</math> 為真。

==例子==
===<math>\sqrt{2}</math>是[[无理数]]的证明（古希腊人）===

证明：假设<math>\sqrt{2}</math>是[[有理数]]，那么可以写成 <math>\frac{p}{q}</math> 的形式，其中 <math>p</math>、<math>q</math> 皆為正整數且 <math>p</math>、<math>q</math> [[互质]]。那么有

*<math>p=\sqrt{2}\times q</math>
*<math>p^2=2\times q^2</math>

可得 <math>p^2</math>是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 <math>p</math> 也是偶数。因此可设 <math>p=2s</math>，從而 <math>p^2 = 4s^2</math>，代入上式，得：<math>q^2=2s^2</math>。所以 <math>q^2</math>也是偶數，故可得 <math>q</math> 也是偶数。这样 <math>p</math>、<math>q</math> 都是偶数，不互质，这与假设 <math>p</math>、<math>q</math> 互质矛盾，假设不成立。因此<math>\sqrt{2}</math>为无理数。

==其他可用反證法證明的例子==
數學上有許多的定理可用反證法來證明，以下是一小部分的例子：
#证明有无限多个质数。
#任意6人当中，求证或者有3人两两相识，或者有3人互不相识。
#现有90张纸，每张纸都写有一个非负整数，已知这90个数之和小于1980，证明至少有三张数目相同的纸。
#集合 <math>S = \{x: 0<x<1\}</math> 没有最小值。
#设 <math>n</math> 是大于1的整数，若所有小于或等于<math>\sqrt{n}</math>的质数都不能整除 <math>n</math>，则 <math>n</math> 是质数。
#已知三角形ABC是锐角三角形，且<math>\angle A>\angle B>\angle C</math>。求证：<math>\angle B>45^\circ</math>。
#已知 <math>a</math>、<math>b</math> 为正实数，求证：<math>\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}</math>。
#已知 <math>a</math>、<math>b</math>、<math>c</math>、<math>d</math> 是实数，且<math>ad-bc=1</math>，求证：<math>a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\neq 1</math>。
#一個群若同時是[[交換群]]和[[單群]]，則該群是[[循環群]]
#若一個循環群是單群，則該群的階為[[質數]]
#若一個循環群的階為質數，則該群為單群
#[[鴿籠原理]]

==引文==
*[[英國]]數學家[[高德菲·哈羅德·哈代]]在他的文章《[[一個數學家的辯白]]》描述：「[[歐幾里得]]最喜歡用的反證法，是[[數學家]]最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵甚至更多，但數學家卻是犧牲整個棋局來獲得勝利。」

==相關條目==
* [[歸謬法]]
* [[排中律]]
* [[直覺主義邏輯]]：一種不承認排中律的邏輯系統
* [[數學構成主義]]
* [[可反證性]]

==参考==
{{reflist}}

==進一步閱讀==
*J. Franklin and A. Daoud, ''Proof in Mathematics: An Introduction'', Quakers Hill Press, 1996, ch. 6

[[Category:证明]]
[[Category:证明方法]]