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'''反推控制'''（backstepping）也稱為'''反演控制'''或'''反步法'''，是一種[[控制理论]]的技術，在約1990年時由{{link-en|Petar V. Kokotovic|Petar V. Kokotovic}}等人提出<ref name=Kokotovic1992>{{cite journal
 | last = Kokotovic
 | first = P.V.
 | year = 1992
 | title = The joy of feedback: nonlinear and adaptive
 | journal = IEEE Control Systems Magazine
 | volume = 12
 | issue = 3
 | pages = 7–17
 | doi = 10.1109/37.165507
}}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=Adaptive control of robot manipulators with flexible joints | journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619}}</ref>，針對特殊形式的[[非線性系統|非線性]][[动力系统]]設計[[李雅普诺夫稳定性|可以稳定系統]]的控制器。此一系統是由許多子系統一層一層組成，最內層的子系統不可再簡化，可以由其他方式穩定最內層的系統。由於此系統的[[递归]]結構，設計者可以以最內層可穩定的系統為啟始點，反推新的控制器來穩定較外層的子系統，此程序會一直進行到處理到最外層的外部控制命令為止。因此此方式稱為是「反推控制」<ref name="Khalil">{{cite book
 | last = Khalil
 | first = H.K.
 | year = 2002
 | edition = 3rd
 | url = http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems/
 | isbn = 978-0-13-067389-3
 | title = Nonlinear Systems
 | publisher = [[普林帝斯霍爾|Prentice Hall]]
 | location = Upper Saddle River, NJ
 | access-date = 2020-02-26
 | archive-date = 2017-07-25
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170725034944/http://www.egr.msu.edu/~khalil/NonlinearSystems/
 | dead-url = no
 }}</ref>''。

== 反推控制的設計方式 ==
反推控制的設計方式可以針對{{link-en|嚴格回授型式|strict-feedback form}}的系統，提供一種[[递归]]方式使其在[[原點]][[李雅普诺夫稳定性|可以稳定]]。考慮以下型式的[[动力系统]]<ref name="Khalil"/>

:<math>\begin{align}\begin{cases}
\dot{\mathbf{x}} &= f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\
\dot{z}_1 &= f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) z_2\\
\dot{z}_2 &= f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) z_3\\
\vdots\\
\dot{z}_i &= f_i(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{i-1}, z_i) + g_i(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{i-1}, z_i) z_{i+1} \quad \text{ for } 1 \leq i < k-1\\
\vdots\\
\dot{z}_{k-1} &= f_{k-1}(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}) + g_{k-1}(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}) z_k\\
\dot{z}_k &= f_k(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}, z_k) + g_k(\mathbf{x},z_1, z_2, \dots, z_{k-1}, z_k) u
\end{cases}\end{align}</math>

其中
* <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math>，其中<math>n \geq 1</math>。
* <math>z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k</math>是[[标量 (数学)|純量]]。
* {{mvar|u}}是系統的純量輸入
* <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math>在[[原點]]處[[根 (数学)|數值為零]]（也就是說<math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>）
* <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math>是在關注區域內不為零（也就是<math>g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0</math>，在<math>1 \leq i \leq k</math>的情形下）

另外假設系統
:<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math>
在原點處有[[李雅普诺夫稳定性]]，可以用某種已知的控制方式<math>u_x(\mathbf{x})</math>使得<math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>。並且假設針對此穩定子系統，可以其[[李亞普諾夫函數]] <math>V_x</math>。因此{{math|'''x'''}}子系統可以由其他方式穩定，利用反推控制可以將其穩定性延展到在外圍的<math>\textbf{z}</math>。

在{{math|'''x'''}}的穩定子系統外圍的嚴格回授型式系統
* 反推控制的控制輸入{{mvar|u}}對狀態<math>z_n</math>有最直接的穩定性效果。
* 狀態<math>z_n</math>的作用是在狀態<math>z_{n-1}</math>之前的穩定性控制。
* 此程序會繼續，使每一個狀態<math>z_i</math>會都會被虛擬的控制信號<math>z_{i+1}</math>所穩定。

反推控制會確認用<math>z_1</math>要穩定{{math|'''x'''}}子系統的方式，接著再由下一個狀態<math>z_2</math>來驅動狀態<math>z_1</math>，使其產生可以穩定{{math|'''x'''}}的信號。因此此程序是從{{math|'''x'''}}的嚴格回授型式反推往外，一直到設計到最終的控制信號{{mvar|u}}。

== 递归控制设计概述 ==
递归控制的作法如下

# 假設較小（低階）的子系統
#::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math>
#:已經可以用一些控制方式<math>u_x(\mathbf{x})</math>穩定，此控制方式會符合<math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>的條件。意思是說，穩定此系統的<math>u_x</math>，是用其他控制方式達成的。也假設已知此一穩定系統的[[李亞普諾夫函數]] <math>V_x</math>。反推控制可以將這個子系統的穩定性拓展到較大的系統。
# 會設計控制信號<math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math>，使得系統
#::<math>\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)</math>
#:穩定，讓<math>z_1</math>依照想要的<math>u_x</math>控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數（augmented Lyapunov function candidate）來設計
#::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math>
#:此控制信號<math>u_1</math>可以適當選擇，使<math>\dot{V}_1</math>可以遠離0
# 會設計控制信號<math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math>，使得系統
#::<math>\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math>
#:穩定，讓<math>z_2</math>依照想要的<math>u_1</math>控制方式進行。此控制器是依照擴充李亞普諾夫候選函數來設計
#::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2</math>
#:此控制信號 <math>u_2</math>可以適當選擇，使<math>\dot{V}_2</math>可以遠離0
# 會反覆此一程序，一直到其實際{{mvar|u}}已知為止，而且
#* 真實控制信號{{mvar|u}}會使<math>z_k</math>接近虛擬控制信號<math>u_{k-1}</math>的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號<math>u_{k-1}</math>會使<math>z_{k-1}</math>接近虛擬控制信號<math>u_{k-2}</math>的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號<math>u_{k-2}</math>會使<math>z_{k-2}</math>接近虛擬控制信號<math>u_{k-3}</math>的控制得以穩定。
#* ...
#* 虛擬控制信號<math>u_2</math>會使<math>z_2</math>接近虛擬控制信號<math>u_1</math>的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號<math>u_1</math>會使<math>z_1</math>接近虛擬控制信號<math>u_x</math>的控制得以穩定。
#* 虛擬控制信號<math>u_x</math>會使{{math|'''x'''}}穩定在原點。

此程序稱為反推（backstepping），因為是從內部穩定的子系統開始，漸漸反推到較外圍的系統，同時維持每一步的穩定性。因
* <math>f_i</math>在<math>0 \leq i \leq k</math>時為0
* <math>g_i</math>在<math>1 \leq i \leq k</math>不為0
* 給定控制信號<math>u_x</math>會滿足<math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>,
因此所得的系統在原點（<math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, <math>z_1=0</math>, <math>z_2=0</math>, ..., <math>z_{k-1}=0</math>及<math>z_k=0</math>）處穩定，是[[李亞普諾夫函數|全域漸進穩定]]。

==相關條目==
* [[非線性控制]]
* {{le|嚴格回授型式|Strict-feedback form}}
* [[鲁棒控制]]
* [[自适应控制]]

==參考資料==
{{Reflist}}

[[Category:非線性控制]]