查看“︁反双曲函数”︁的源代码

{{函數圖形|title=反雙曲函數示意圖|start=-2|end=2|sampling=200|width=200|height=400
|asinh(x)|acosh(x)|atanh(x)|asech(x)
|caption=幾個反雙曲函數的圖形}}
'''反双曲函数'''是[[双曲函数]]的[[反函数]]。与[[反三角函数|反圆函数]]不同之处是它的[[前缀]]是'''ar'''意即area（[[面积]]），而不是arc（[[弧]]）。因为[[双曲角]]是以[[双曲线]]、通过[[原点]][[直线]]以及其对x轴的[[映射]]三者之间所夹面积定义的，而[[角|圆角]]是以弧长与半径的比值定义。

==數學符號==
符号<math>\mathrm{sinh}^{-1}, \mathrm{cosh}^{-1}</math>等常用于<math>\mathrm{arsinh}, \mathrm{arcosh}</math>等。但是这种符号有时在<math>\mathrm{sinh}^{-1} x</math>和<math>\frac{1}{\mathrm{sinh}x}</math>之间易造成混淆。

==主值==
下表列出基本的反双曲函数。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
!名称
!常用符号
!定义
!定义域
!值域
!图像
|-
| 反双曲正弦 || <math>y=\mathrm{arsinh} x</math>|| <math>\ln(x + \sqrt{x^2 + 1})</math>|| <math>\mathbb{R}</math>|| <math>\mathbb{R}</math> || [[file:Mplwp arsinh.svg|150px]]
|-
| 反双曲余弦 || <math>y=\mathrm{arcosh} x</math>|| <math>\ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})</math><ref group="註">双曲余弦函数是偶函数，所以对于一个y值（y>1），都有两个x值与之对应，取反的时候只取一个（通常是正的）即可。</ref>|| <math>[1,+\infty)</math> || <math>[0,+\infty)</math> || [[file:Mplwp arcosh.svg|150px]]
|-
| 反双曲正切 || <math>y=\mathrm{artanh} x</math>|| <math>\frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math>|| <math>(-1,1)</math> || <math>\mathbb{R}</math> || [[file:Mplwp artanh.svg|150px]]
|-
| 反双曲余切 || <math>y=\mathrm{arcoth} x</math>|| <math>\frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)</math>|| <math>(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)</math> ||  <math>(-\infty,0)\cup(0,+\infty)</math> || [[file:Mplwp arcoth.svg|150px]]
|-
| 反双曲正割 || <math>y=\mathrm{arsech} x</math>|| <math>\ln\left(\frac{1}{x}+ \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\right)</math>|| <math>(0,1]</math> || <math>[0,+\infty)</math> || [[file:Mplwp arsech.svg|150px]]
|-
| 反双曲余割 || <math>y=\mathrm{arcsch} x</math>|| <math>\ln\left(\frac{1}{x}+ \frac{\sqrt{1 + x^2}}{\left|x\right|}\right)</math>|| <math>(-\infty,0)\cup(0,+\infty)</math> || <math>(-\infty,0)\cup(0,+\infty)</math> || [[file:Mplwp arcsch.svg|150px]]
|-
|}

== 反双曲函数的导数 ==
:<math>
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \qquad x>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \qquad |x| <1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \qquad |x| >1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \qquad x \in (0,1)\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \qquad x \text{ ≠ }0\\
\end{align}</math>

求导范例：
设''θ'' = arsinh ''x''，则：
:<math>\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>

== 幂级数展开式 ==
:<math>\operatorname{arsinh}\, x</math>
::<math>= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1</math>

:<math>\operatorname{arcosh}\, x</math>
::<math>= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)</math>
::<math>= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1</math>

:<math>\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1 </math>

:<math>\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}</math>
::<math>= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1</math>

:<math>\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}</math>
::<math>= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)</math>
::<math>= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1 </math>

:<math>\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}</math>
::<math>= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots</math>
::<math>= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1 </math>

:<math>\operatorname{arcosh}(2x^2-1) = 2\operatorname{arcosh} x</math>
:<math>\operatorname{arcosh}(2x^2+1) = 2\operatorname{arsinh} x</math>

== 反双曲函数的不定积分 ==

:<math>
\begin{align}
\int \operatorname{arsinh}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arsinh}\,x - \sqrt{x^2+1} + C\\
\int \operatorname{arcosh}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcosh}\,x - \sqrt{x^2-1} + C,\qquad x >1\\
\int \operatorname{artanh}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{artanh}\,x + \frac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right) + C,\qquad |x| <1\\
\int \operatorname{arcoth}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcoth}\,x + \frac{1}{2}\ln\left(x^2-1\right) + C,\qquad |x| >1\\
\int \operatorname{arsech}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arsech}\,x + \arcsin\,x + C,\qquad x \in (0,1)\\
\int \operatorname{arcsch}\,x\,dx &{}= x\,\operatorname{arcsch}\,x +  \left|\operatorname{arsinh}\,x\right| + C,\qquad x\ne0
\end{align}</math>

使用[[分部积分法]]和上面的简单导数很容易得出它们。

==註釋==
<references group="註"/>

== 外部链接 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html Inverse trigonometric functions]{{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html |date=20070914022341 }} at [[MathWorld]]

==参见==
*[[双曲函数]]


[[Category:基本特殊函数]]