查看“︁反函数的微分”︁的源代码

{{Unreferenced|time=2018-12-18T16:47:44+00:00}}
[[File:Umkehrregel_2.png|右|缩略图|250x250像素|公式：<br /><math>{\color{CornflowerBlue}{f'}}(x) = \frac{1}{{\color{Salmon}{(f^{-1})'}}({\color{Blue}{f}}(x))}</math><br />例如任意的 <math>x_0 \approx 5.8</math>:<br /><math>{\color{CornflowerBlue}{f'}}(x_0) = \frac{1}{4}</math><br /><math>{\color{Salmon}{(f^{-1})'}}({\color{Blue}{f}}(x_0)) = 4~</math>]]
数学上，[[可導]][[雙射]]函數<math>f</math>的'''反函數微分'''可由<math>f</math>的導函數<math>f'</math>給出。若使用[[导数|拉格朗日记法]]，[[反函数]]<math>f^{-1}</math>{{註|<math>f^{-1}</math>為<math>f</math>的反函數，意思是若<math>y = f(x)</math>，則<math>x = f^{-1}(y)</math>。准确定义请参阅[[反函數|反函数]]。}}的导数公式为：

: <math>\left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)},</math>

该表述等价于

: <math>\mathcal{D}\left[f^{-1}\right]=\frac{1}{(\mathcal{D} f)\circ \left(f^{-1}\right)},</math>

其中 <math>\mathcal{D}</math> 表示一元[[微分算子]]（在函数的空间上），<math>\circ</math> 表示二元[[函數複合|复合]]算子。

記<math>y = f(x)</math>，則上式可用莱布尼兹符号寫成：

: <math>\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1. </math>
換言之，函數及其反函數的导数均可逆{{notetag|前提均存在}}，并且乘积为1。这是[[链式法则|链式规则]]的直接结果，因为

: <math> \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx}, </math>

而 <math>x</math> 相对于 <math>x</math> 的导数为1。

几何上，函数和反函数有关于直线 {{Nowrap|1=''y'' = ''x''}}.镜像的图像，这种映射将任何线的[[斜率]]变成其[[倒数]]。

假设 <math>f</math> 在<math>x</math>的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。

== 反函数举例 ==

* <math>\,y = x^2</math>（<math>x</math>为正）具有逆 <math>x = \sqrt{y}</math>中。

: <math> \frac{dy}{dx} = 2x 
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x}</math>
: <math>\frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy}  =  2x \cdot\frac{1}{2x}  =  1. </math>

但是，在 {{Nowrap|1=''x'' = 0}}有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。

* <math>\,y = e^x</math> ( <math>x</math>为实数)具有逆 <math>\,x = \ln{y}</math>（<math>y</math>为正值）

: <math> \frac{dy}{dx} = e^x
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} </math>

: <math> \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy}  =  e^x \cdot \frac{1}{y}  =  \frac{e^x}{e^x}  =  1 </math>

== 其他属性 ==
* 对反函数积分有如下公式

:: <math>{f^{-1}}(x)=\int\frac{1}{f'({f^{-1}}(x))}\,{dx} + \mathrm{C}</math>{{notetag|这仅在积分存在的情况下适用。特别地，需要<math>f'(x)</math>在整个积分范围内非零}}

可见，具有[[连续]]导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的[[邻域]]内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。

== 高阶导数 ==
上面给出的[[链式法则]]是通过对等式<math>x= f^{-1}(f(x))</math>关于<math>x</math>微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对<math>x</math>求导两次，得到

: <math>\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d}{dx} \left(\frac{dx}{dy}\right)\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)  =  0,</math>

使用链式法则进一步简化为

: <math> \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2  =  0.</math><math>\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2  =  0</math>

用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到

: <math>\frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3</math><math> \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3. </math>

对三阶导数类似：

: <math>\frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 -
3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2</math>

或者用[[二阶导数]]的公式，

: <math> \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 +
3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5</math>

这些公式是由Faa di Bruno公式推广。

这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果<math> f</math>和<math> g</math>是互逆的，则

: <math> g''(x) = \frac{-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^3}</math>

== 反函数的微分举例 ==

* <math>\,y = e^x</math> 有逆运算<math>\,x = \ln y</math>。使用反函数的二次导数公式，

: <math> \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y 
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = y^3;</math>

于是，

: <math>
\frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2}
</math>,

与直接计算相同。

==注释==
{{notefoot}}
== 参见 ==
* [[微积分学|微积分]]
* [[反函數|反函数]]
* [[链式法则]]
* [[反函数定理]]
* [[隐函数定理]]
* [[反三角函数积分表|反函数的积分]]

[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:求导法则]]
[[Category:反函数]]
[[Category:分析定理]]
[[Category:微積分定理]]