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{{multiple image
 | total_width = 450
 | image1 = Inverse of Gamma function.svg
 | caption1 = 反伽瑪函數<math>\Gamma^{-1}(x)</math>的[[函數圖形]]
 | image2 = Inverse gamma function in complex plane.png
 | caption2 = 反伽瑪函數<math>\Gamma^{-1}(x)</math>在[[複數 (數學)|複數域]]的[[色相環複變函數圖形]]
}}
'''反伽瑪函數'''<math>\Gamma^{-1}(x)</math>（反Γ函數，Inverse gamma function）是[[伽瑪函數]]（Γ函數）的[[反函數]]。
換句話說，如果反Γ函數以<math display="inline">\Gamma^{-1}(x)=y</math>的形式表示，則其滿足<math display="inline">\Gamma(y)=x</math>。
例如24的反伽瑪[[函數值]]為5，<math>\Gamma^{-1}(24)=5</math>，因為5代到伽瑪函數為24<ref>{{Cite journal |last1=Borwein |first1= Jonathan M. |last2=Corless |first2= Robert M.|title=Gamma and Factorial in the Monthly |journal=The American Mathematical Monthly  |year=2017 |volume= 125 |issue= 5 |pages= 400–424 |doi= 10.1080/00029890.2018.1420983 |arxiv=1703.05349 |jstor=48663320|s2cid= 119324101 }}</ref>。
一般而言，反伽瑪函數是指[[定義域]]在[[實數]]區間<math>\left[\beta, +\infty\right)</math>上且圖形在實數區間<math>\left[\alpha, +\infty\right)</math>上的主分支，其中<math>\beta = 0.8856031\ldots</math><ref>{{oeis|A030171}}</ref>是伽瑪函數在正[[实轴|實軸]]上的最小值、<math>\alpha = \Gamma^{-1}(\beta) = 1.4616321\ldots</math><ref>{{oeis|A030169}}</ref>是能使<math>\Gamma(x)</math>最小的<math>x</math>值<ref>{{cite journal |last1=Uchiyama |first1=Mitsuru |title=The principal inverse of the gamma function |date=April 2012 |url=https://www.jstor.org/stable/41505586 |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |volume=140 |issue=4 |pages=1347 |doi=10.1090/S0002-9939-2011-11023-2 |jstor=41505586 |s2cid=85549521 |access-date=20 March 2023 |doi-access=free |archive-date=2023-03-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230320155145/https://www.jstor.org/stable/41505586 |dead-url=no }}</ref>。
反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和[[階乘]]的關係來定義[[#反階乘|反階乘]]，即階乘的反函數。

限制在<math>\left[\alpha, +\infty\right)</math>區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為<math>\Gamma^{-1}(x)</math>。
在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為<math>\Gamma_{n}^{-1}(z)</math>。

[[File:Inverse Gamma Function.png|thumb|直接將伽瑪函數取反函數將成為[[多值函數]]，因此通常會將反伽瑪函數限制在特定區間上的反函數]]

== 定義 ==
由於反伽瑪函數是伽瑪函數的[[反函數]]，因此最簡單的情況下可以表示為：
:<math>\Gamma(\Gamma^{-1}(x))=x</math>
更進一步的，反伽瑪函數可以用如下[[積分]]表達式來定義：<ref>{{cite journal |last1=Pedersen |first1=Henrik |title="Inverses of gamma functions" |journal=Constructive Approximation |date=9 September 2013 |volume=7 |issue=2 |pages=251–267 |doi=10.1007/s00365-014-9239-1 |arxiv=1309.2167 |s2cid=253898042 |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s00365-014-9239-1 |access-date=2023-08-21 |archive-date=2023-05-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230524104309/https://link.springer.com/article/10.1007/s00365-014-9239-1 |dead-url=no }}</ref>
:<math>\Gamma^{-1}(x)=a+bx+\int_{-\infty}^{\Gamma(\alpha)}\left(\frac{1}{x-t}-\frac{t}{t^{2}-1}\right)d\mu(t) </math>
其中<math>\int_{-\infty}^{\Gamma\left(\alpha\right)}\left(\frac{1}{t^{2}+1}\right)d\mu(t)<\infty</math>、a和b為滿足<math>b\geqq0</math>的[[實數]]、<math>\mu (t)</math>為[[博雷尔测度]]。

== 近似值 ==
[[File:Inverse Gamma function with branches.svg|thumb|不同分支的反伽瑪函數]]
反伽瑪函數的分支可以透過先計算<math>\Gamma^{-1}(x)</math>在分支點<math>\alpha</math>附近的[[泰勒級數]]，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。
例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似<ref>{{cite book|first1=Robert M.|last1=Corless |first2=Folitse Komla|last2=Amenyou |last3=Jeffrey |first3=David  |title=2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC) |chapter=Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma <!--|journal=SYNASC -->|date=2017 |pages=65 |doi=10.1109/SYNASC.2017.00020|isbn=978-1-5386-2626-9 |s2cid=53287687 }}</ref>；
:<math>
\Gamma^{-1}\left(x\right)\approx\alpha+\sqrt{\frac{2\left(x-\Gamma\left(\alpha\right)\right)}{\Psi\left(1,\ \alpha\right)\Gamma\left(\alpha\right)}}.</math>
反伽瑪函數也有如下的[[渐近分析]]形式：<ref name=FolitseKomla>{{cite thesis |type=MS |last1=Amenyou |first1=Folitse Komla |last2=Jeffrey |first2=David |title="Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" |date=2018 |pages=28 |url=https://ir.lib.uwo.ca/cgi/viewcontent.cgi?article=7340&context=etd |access-date=2023-08-23 |archive-date=2022-05-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220509191620/https://ir.lib.uwo.ca/cgi/viewcontent.cgi?article=7340&context=etd |dead-url=no }}</ref>
:<math>\Gamma^{-1}(x)\sim\frac{1}{2}+\frac{\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)\right)}</math>
其中<math>W_0(x)</math>是[[朗伯W函数]]。這個公式是利用[[史特靈公式]]求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。
=== 級數展開 ===
要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算[[倒數伽瑪函數|倒數伽瑪函數<math>\frac{1}{\Gamma(x)}</math>]]在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。

令<math>z=\frac{1}{x}</math>可以得到第<math>n</math>個分支的反伽瑪函數<math>\Gamma_{n}^{-1}(z)</math>，其中<math>n\ge 0</math>。<ref>{{Cite journal |last1=Couto |first1=Ana Carolina Camargos |last2=Jeffrey |first2=David |last3=Corless |first3=Robert |date=November 2020 |title=The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation |url=https://www.maplesoft.com/mapleconference/2020/highlights.aspx |at=Section 8 |journal=Maple Conference Proceedings |access-date=2023-08-23 |archive-date=2023-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230516112857/https://www.maplesoft.com/mapleconference/2020/highlights.aspx |dead-url=no }}</ref>
:<math>\Gamma_{n}^{-1}(z)=-n+\frac{\left(-1\right)^{n}}{n!z}+\frac{\psi^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^2}+\frac{\left(-1\right)^{n}\left(\pi^{2}+9\psi^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^3}+O\left(\frac{1}{z^{4}}\right)</math>
其中，<math>\psi^{(n)}(x)</math>是[[多伽玛函数]]。

== 反階乘 ==
[[Image:Inverse factorial in complex plane.png|thumb|反階乘的複變函數圖形]]
反階乘是[[階乘]]的[[反函數]]，有時記為Factorial<sup>-1</sup>或ArcFactorial<ref>{{cite journal 
|author = Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk
|date = 2010-03
|pages = 6-12
|title = Superfunctions and sqrt of factorial
|volume = 65
|journal = Moscow University Physics Bulletin
|doi = 10.3103/S0027134910010029}}</ref>，其[[函數值]]可以透過[[#top|反伽瑪函數]]或解伽瑪函數方程來得到<ref>{{cite web | url = https://resources.wolframcloud.com/FunctionRepository/resources/InverseFactorial/ | title = InverseFactorial | website = resources.wolframcloud.com | access-date = 2023-08-21 | archive-date = 2023-08-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230821054426/https://resources.wolframcloud.com/FunctionRepository/resources/InverseFactorial/ | dead-url = no }}</ref>。
例如120的反階乘為5，因為{{計算結果|factorial(5)}}。
目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。<ref group=註>數篇相關論文用了不同的表達方式，尚未找到一個統一的表達方式。
另有網友在reddit上討論反階乘應該用甚麼符號表達 {{cite web | url = https://www.reddit.com/r/mathmemes/comments/13xluq1/whats_best_notation_for_arcfactorial_x_or_x_or_x1/ | title = What's best notation for arcfactorial? x¡ OR x? OR x!^(-1) | website = [[reddit]] | access-date = 2023-08-21 | archive-date = 2023-08-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230821054817/https://www.reddit.com/r/mathmemes/comments/13xluq1/whats_best_notation_for_arcfactorial_x_or_x_or_x1/ | dead-url = no }}</ref>

{| class="wikitable" style="margin:0 0 0 1em; text-align:right; clear: right; float:right;"
|+ 部分的反階乘
|-
! <math>n</math>
! <math>n</math>的反階乘
|-
| -1 || 2.39393017729 
+ 2.66169895945<math>i</math>
|-
| 0 || 不存在
|-
| <math>\frac12</math> || 0.28307261544 
+ 1.09787390370<math>i</math>
|-
| <math>\frac\sqrt{\pi}2</math> || <math>\frac12</math>
|-
| 1 || 1
|-
| 2 || 2
|-
| 3 || 2.4058699863
|-
| 4 || 2.6640327972
|-
| 5 || 2.8523554580
|-
| 6 || 3
|-
|24 || 4
|}

反伽瑪函數與反階乘的關係為：
:<math> \Gamma^{-1}(n) = \mathrm{ArcFactorial}(z)+1</math>

這是由於：
:<math>z!=\Gamma(z+1)</math>

反階乘可以定義為：
:<math>(\mathrm{ArcFactorial}(z))!=z</math>
條件是<math>\mathrm{ArcFactorial}(z)</math>在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到<math>-\infty</math>。

在分支點<math>z=\mu_0</math>附近的反階乘可以展開為；
:<math>
\mathrm{ArcFactorial}(z)=\nu_0+\sum_{n=1}^{N-1} d_n\cdot \Big(\log(z/\mu_0) \Big)^{n/2}
</math>

由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計：
: <math>\mathrm{ArcFactorial}\left( z\right)\approx-1+\alpha+\sqrt{\frac{2\left(x-\Gamma\left(\alpha\right)\right)}{\Psi\left(1,\ \alpha\right)\Gamma\left(\alpha\right)}}.</math>
因此，反階乘也可以寫成如下的[[渐近分析]]形式：<ref name=FolitseKomla/>
:<math>\mathrm{ArcFactorial}\left( x\right) \sim\frac{\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln\left(\frac{x}{\sqrt{2\pi}}\right)\right)}-\frac{1}{2}</math>
其中<math>W_0(x)</math>是[[朗伯W函数]]。

== 參見 ==
*[[倒數伽瑪函數]]

== 註釋 ==
{{Reflist|group=註}}

== 參考文獻 ==
{{Reflist|2}}

[[Category:伽玛及相关函数]]